定积分与微积分基本定理习题
一、选择题
1． a＝?2xdx， b＝?2exdx， c＝?2sinxdx， 则a、b、c的大小关系是( )
?0?0?0A．a B．a D．c 2．由曲线y＝x2， y＝x3围成的封闭图形面积为( ) 练习、设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动， 如果把由直线OP， 直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1， S2.如图所示， 当S1＝S2时， 点P的坐标是( ) ?416?A.?，? ?39??416??415?B.?，? C.?，? ?59??37? 18 C. 5 ?413?D.?，? ?57? 3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为( ) A．4 4B. 3 D．6 4． ?1－1(sinx＋1)dx的值为( ) ? A．0 B．2 C．2＋2cos1 D．2－2cos1 5．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( ) A．2π 3π B．3π C. 2 D．π 6．函数F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上( ) ?0 32 A．有最大值0， 无最小值 B．有最大值0和最小值－ 332 C．有最小值－， 无最大值 D．既无最大值也无最小值 3 1 7．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n， 函数f(x)＝?xdt， 若f(x) ?1tA.? ?3? ，＋∞? B．(0， e21) C．(e－11， e) ?6? 在一个长为π， D．(0， e11) 宽为2的矩形OABC内， 8．如图所示， 曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分， 向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)， 则所投的点落在阴影部分的概率是( ) 1 A. π x＋2－2≤x<0?? 9．函数f(x)＝?π 2cosx0≤x≤?2?3 A. 2 B．1 2B. π 3C. π πD. 4 的图象与x轴所围成的图形面积S为( ) C．4 1D. 2 如[－1.2]＝－2， [1.2]＝1， 10．设函数f(x)＝x－[x]， 其中[x]表示不超过x的最大整数， x [1]＝1.又函数g(x)＝－， f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m， f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n， 则?n 3?mg(x)dx的值是( ) 5 A．－ 2 457B．－ C．－ D．－ 346 11．甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b， 乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)， 若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根， 则甲获胜， 否则乙获胜， 则在一场比赛中甲获胜的概率为( ) 1 A. 3 2B. 3 1C. 2 3D. 4A(1,0)， B(1,1)， C(0,1)， 曲线y＝x2(x≥0)与x轴， 12．已知正方形四个顶点分别为O(0,0)， 直线x＝1构成区域M， 现将一个质点随机地投入正方形中， 则质点落在区域M内的概率是( ) 1A. 2 11B. C. 43 2 D. 5 二、填空题 13．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1， 若?1－1f(x)dx＝2f(a)成立， 则a＝________. ? π 14．已知a＝∫20(sinx＋cosx)dx， 则二项式(ax－1x )6的展开式中含x2项的系数是________． 15．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________． 16．抛物线y2＝ax(a>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为若直线l与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0， 则l的方程为______． 17．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a， b ∈ R)的图象如图所示， 它与x轴在原点处相切， 43 ， 1 且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为， 则a的值为________． 12 三、解答题 18．如图所示， 在区间[0,1]上给定曲线y＝x2， 试在此区间内确定t的值， 使图中阴影部分的面积S1＋S2最小． 1 1、 [答案] D[解析] a＝?2xdx＝x2|02＝2， b＝?2exdx＝ex|02＝e2－1>2， c＝?2sinxdx＝－cosx|02＝1 2?0?0?0－cos2∈(1,2)， ∴c 1 A. 12 1B. 4 1C. 3 7D. 12 ??y＝x2 2、[答案] A[解析] 由? ??y＝x3 得交点为(0,0)， (1,1)． ∴S＝?1(x2－x3)dx＝ ?0 ?1x3－1x4??1＝1. ?3?4????012 t3 练习； [答案] A[解析] 设P(t， t2)(0≤t≤2)， 则直线OP：y＝tx， ∴S1＝?t(tx－x2)dx＝；S2＝?2 6?0?t8t34?416?(x2－tx)dx＝－2t＋， 若S1＝S2， 则t＝， ∴P?，?. 363?39? 3、[答案] A[解析] S＝?2x3dx＝ ?0 x4?2 ＝4. 4??0 4、[答案] B[解析] ?1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2. ? 5、[答案] A[解析] 如右图， S＝∫02π(1－cosx)dx＝(x－sinx)|02π＝2π. 6、[答案] B[解析] F′(x)＝x(x－4)， 令F′(x)＝0， 得x1＝0， x2＝4， 7322532 ∵F(－1)＝－， F(0)＝0， F(4)＝－， F(5)＝－.∴最大值为0， 最小值为－. 3333 1 7、[答案] D；[解析] f(x)＝?xdt＝lnt|1x＝lnx， a3＝S3－S2＝21－10＝11， 由lnx<11得， 0 ?1t8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形， 考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝?π ?0S21 sinxdx＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2， 再根据几何概型的算法易知所求概率P＝＝＝. S矩形OABC2ππ 9、[答案] C[解析] 面积S＝∫2－2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫202cosxdx＝2＋2＝4. π π ? 10、 [答案] A[解析] 由题意可得， 当0 ?x?以m＝1， n＝4， 则?ng(x)dx＝?4?－?dx＝ ?m?1?3? x245 －??1＝－. 6?2 11、[答案] A；[解析] 方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0， 即b2≥c， 由题意知， 每场比赛中甲获胜的概率为p＝12、[答案] C； ?1b2db?01 1×1 ＝. 3 11 [解析] 如图， 正方形面积1， 区域M的面积为S＝?1x2dx＝x3|01＝， 故 33?01 所求概率p＝. 3 1 13、 [答案] －1或；[解析] ∵?1－1f(x)dx＝?1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4， ?1－1f(x)dx 3???1 ＝2f(a)， ∴6a2＋4a＋2＝4， ∴a＝－1或. 3 π π 14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a＝∫20(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|20＝(sin 1 ππ－cos)－22 (sin0－cos0)＝2， (2x－ )6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C6r×26－r×x3－r， 令3－r＝2得， r x ＝1， 故其系数为(－1)1×C61×25＝－192. ??y2＝2x 15、[答案] 18[解析] 由方程组? ?y＝4－x? y2 解得两交点A(2,2)、B(8， －4)， 选y作为积分变量x＝、x 2 ＝4－y y2y2y3 ∴S＝?2－4[(4－y)－]dy＝(4y－－)|－42＝18. 226? 17、 [答案] －1 [解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b， ∵f ′(0)＝0， ∴b＝0， ∴f(x)＝－x3＋ax2， 令f(x)＝0， 得x＝0或11 x＝a(a<0)．S阴影＝－?0(－x3＋ax2)dx＝a4＝， ∴a＝－1. 1212?a 2 18、 [解析] 由题意得S1＝t·t2－?tx2dx＝t3， 3?0 2141 S2＝?1x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋， 所以S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)． 3333?t1?1?又S′(t)＝4t2－2t＝4t?t－?， 令S′(t)＝0， 得t＝或t＝0. 2?2?11 因为当0 22 11?1??1?所以S(t)在区间?0，?上单调递减， 在区间?，1?上单调递增．所以， 当t＝时， Smin＝. 24?2??2? 2 16、 [答案] 16x－8y＋1＝0[解析] 由题意知?1axdx＝， ∴a＝1， 3?0
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
