『高中数学·必修 1』
向航行，快艇和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h，已知 AC=150km， 经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
第二章基本初等函数
课题：§2.1.1 指数
教学目的：（1）掌握根式的概念；
（2） 规定分数指数幂的意义；
（3） 学会根式与分数指数幂之间的相互转化； （4） 理解有理指数幂的含义及其运算性质； （5） 了解无理数指数幂的意义
教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的
运算性质
教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程： 三十五、
引入课题
1. 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2. 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性； 3. 复习初中整数指数幂的运算性质；
am ? an ? am?n (am )n ? amn (ab)n ? anbn
4. 初中根式的概念；
如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根； 三十六、
新课教学
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
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一般地，如果 xn ? a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（n th root），其中 n >1，
且 n ∈ N ．
*
当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数．此 时， a 的 n 次方根用符号 n a 表示．
n a叫做根式（radical）式子 ，这里 n 叫做根指数（radical exponent）， a 叫做被
开方数（radicand）．
当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 a 的
n n a表示，负的 n 次方根用符号－ a表示．正的 n 次方根与负 正的 n 次方根用符号 n a（ 的 n 次方根可以合并成± a >0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 ? 0 ．
思考：（课本 P58 探究问题） an n
= a 一定成立吗？．（学生活动）
结论：当 n 是奇数时， an n
? a
?
?
当 n 是偶数时， an n
例 1．（教材 P58 例 1）．解：（略）
巩固练习：（教材 P58 例 1） 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义规定：
m
?a(a ? 0) ?| a |? ?
(a ? 0) ??? a
a n ? n am (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
?
m
n
??
1
m
a n
1
? (a ? 0, m, n ? N *, n ? 1) n m a0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
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3. 有理指数幂的运算性质
『高中数学·必修 1』
（1） ar · ar ? ar ?s （2） (ar ) s ? a rs
(a ? 0, r, s ? Q) ； (a ? 0, r, s ? Q) ； (a ? 0, b ? 0, r ? Q) ．
（3） (ab)r ? ar as
引导学生解决本课开头实例问题
例 2．（教材 P60 例 2、例 3、例 4、例 5）
说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 巩固练习：（教材 P63 练习 1-3） 4. 无理指数幂
结合教材 P62 实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．
指出：一般地，无理数指数幂 a? (a ? 0,?是无理数) 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
思考：（教材 P63 练习 4）
巩固练习思考：：（教材 P62 思考题）
例 3．（新题讲解）从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 升，然后用水填满，再倒
1 3
出 升，又用水填满，这样进行 5 次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
1
3
解：（略）
点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题． 三十七、
归纳小结，强化思想
本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地， 化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． 三十八、
作业布置
5. 必做题：教材 P69 习题 2．1（A 组） 第 1－4 题． 6. 选做题：教材 P70 习题 2．1（B 组） 第 2 题．
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课题：§2.1.2 指数函数及其性质
教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他
学科的联系；
（2） 理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索
并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3） 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体
到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 三十九、
引入课题
（备选引例）
5. （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全
世界关注．世界人口 2000 年大约是 60 亿，而且以每年 1.3%的增长率增长， 按照这种增长速度，到 2050 年世界人口将达到 100 多亿，大有“人口爆炸” 的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育着 22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000 年第五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
1 按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000 年起，x 年后我国的人口○
将达到 2000 年的多少倍？
2 到 2050 年我国的人口将达到多少？ ○
3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ ○
6. 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x（x∈N*，x
≤20）能否构成函数？
7. 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84%，
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那么以时间 x 年为自变量，残留量 y 的函数关系式是什么？
8.
上面的几个函数有什么共同特征？
四十、 新课教学 （一）指数函数的概念
一般地，函数y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 叫做指数函数（exponential function），其中 x 是自变量，函数的定义域为 R．
1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 注意：○
2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负○
数、零和 1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材 P68 例 2、3） （二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：
1. 在同一坐标系中画出下列函数的图象：
?
1x
(（1） y ??) 3 1 x( （2） y ??) 2
（3） y ? 2x （4） y ? 3x （5） y ? 5x
?
2. 从画出的图象中你能发现函数y ? 2x 的图象和函数y ??(
?1
) x 的图象有什么 2
1
关系？可否利用y ? 2 的图象画出y ??( ) x 的图象？
2
x
3. 从画出的图象（ y ? 2x 、 y ? 3x 和y ? 5x ）中，你能发现函数的图象与其
底数之间有什么样的规律？
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高中数学必修一教案(全套)(word档)
