『高中数学·必修 1』
生：分析函数，按提示 零点存在性的探索： 探索，完成解答，并认 2（Ⅰ）观察二次函数 f (x) ? x ? 2x ? 3 的图 真思考． 象： 1 在区间[?2,1] ○上有零点 ； 师：引导学生结合函数 f (?2) ???， f (1) ???, 图象，分析函数在区间 f (?2) · f (1) 0（＜或＞）． 端点上的函数值的符 2 ○在区间[2,4] 上有零点 ； 号情况，与函数零点是 f (2) · f (4) 0（＜或＞）． 否存在之间的关系． （Ⅱ）观察下面函数 y ? f (x) 的图象 生：结合函数图象，思 考、讨论、总结归纳得 出函数零点存在的条 件，并进行交流、评析． 1 在区间[a, ○b] 上 (有/无)零点； f (a) · f (b) 0（＜或＞）． 2 在区间[b, ○c] 上 (有/无)零点； f (b) · f (c) 0（＜或＞）． 3 在区间[c, ○d ] 上 (有/无)零点； f (c) · f (d ) 0（＜或＞）． 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某 给定区间上是否存在零点． 环节 师：引导学生理解函数 零点存在定理，分析其 中各条件的作用． 例题研究 师生互动设计 师：引导学生探索判断例 1．求函数 f (x) ? ln x ? 2x ? 6 的零点个 函数零点的方法，指出数． 可以借助计算机或计算问题： 器来画函数的图象， 1） 你可以想到什么方法来判断函数零点个 结合图象对函数有一个数？ 零点形成直观的认识． 2） 判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 生：借助计算机或计算 教学内容设置 ——————————————第 56 页 （共 70页）——————————————
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例 2．求函数 y ? x3 ? 2x 2 ? x ? 2 ，并画出它器画出函数的图象，结 合图象确定零点所在 的大致图象． 的区间，然后利用函数 单调性判断零点的个 数． 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1） ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 ； （2） 2x(x ? 2) ? ?3 ； 尝试练习 （3） x 2 ? 4x ? 4 ； （4） 5x2 ? 2x ? 3x2 ? 5 ． 2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在 的大致区间： （1） f (x) ? ?x3 ? 3x ? 5 ； （2） f (x) ? 2x ln(x ? 2) ? 3 ； （3） f (x) ? ex?1 ? 4x ? 4 ； （4） f (x) ? 3(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x ． 师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性 说明零点的个数；让学 生认识到函数的图象 及基本性质（特别是单 调性）在确定函数零点 中的重要作用． 1．已知 f (x) ? 2x 4 ? 7x3 ? 17x 2 ? 58x ? 24 ，请探究方程 f (x) ? 0 的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过 1）． 2．设函数 f (x) ? 2 x ? ax ? 1 ． ） 利用计算机探求 a ? 2 和 a ? 3 时函数 f (x) 的零点个数； （1） （2） 探 究与发现 当 a ? R 时，函数 f (x) 的零点是怎样分布的？ 环节
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教学内容设置 师生互动设计
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1． 教材 P108 习题 3．1（A 组）第 1、2 题； 2. 求下列函数的零点： （1） y ? x 2 ? 5x ? 4 ； （2） y ? ?x2 ? x ? 20 ； （3） y ? (x ? 1)(x 2 ? 3x ? 1) ； （4） f (x) ? (x 2 ? 2)(x 2 ? 3x ? 2) ． 3. 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零： 作业回馈 （1） y ? x 2 ? 2x ? 1； 1 3 （2） y ? ?2x2 ? 4x ?1． 4． 已知 f (x) ? 2(m ? 1)x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 ： （1） m 为何值时，函数的图象与 x 轴有两个零点； （2） 如果函数至少有一个零点在原点右侧， 求 m 的值． 5． 求下列函数的定义域： （1） y ? x 2 ? 9 ； （2） y ? x2 ? 3x ? 4 ； （3） y ? ? x 2 ? 4x ? 12 课外活动 考虑列表，建议画出图ax ? bx ? c ? 0 ， ax ? bx ? c ? 0 的相互关系， 象帮助分析． 以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种 系统的、简洁的方式总结表达． 22研究 y ? ax 2 ? bx ? c ， ax2 ? bx ? c ? 0 ， 收获与体会
说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤． ——————————————第 58 页 （共 70页）——————————————
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课题：§3.1.2 用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想， 为学习算法做准备．
情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系， 初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
创设情境 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
组织探究 二分法的意义、算法思想及方法步骤．
探索发现 体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．
尝试练习 二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法
解决简单问题． 作业回馈 二分法应用于实际．
课外活动 1. 二分法为什么可以逼近零点的再分析； 2. 追寻阿贝尔和伽罗瓦．
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教学过程与操作设计： 环节 教学内容设计 材料一：二分查找(binary-search) （第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第 15 题）某数列有 1000 个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。 Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500 二分法检索（二分查找或折半查找）演示． 师生双边互动 师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题． 生：体会二分查找的思想与方法． 创设情境 材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数 y ? f (x) 的零点（即 f (x) ? 0 的根），对于 f (x) 为 师：从高次代数方程的一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时， 解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意称为求根公式）． 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根义． 公式，但对于高于 4 次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于 3 次和4 次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂， 一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 二分法及步骤： 对于在区间[a ， b] 上连续不断，且满足f 师：阐述二分法的逼近(a) · f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) ，通过不断地把原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的二分法求函数近似零点两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方的具体步骤． 法叫做二分法． 给定精度 ，用二分法求函数 f (x) 的零点近 似值的步骤如下： 分析条件 “ f (a) · f (b) ? 0 ”、 1. 确定区间[a ，b] ，验证 f (a) · f (b) ? “精度 ”、“区间中0 ，给定精度 ； 点”及“ | a ? b |? ? ” 2. 求区间(a ， b) 的中点 x1 ； 组织探究 ——————————————第 60 页 （共 70页）——————————————
高中数学必修一教案(全套)(word档)
