绵阳南山中学2024年春季2024级6月月考
数学试题
一、选择题.
1.下列命题中正确的是（ ） A. a?b?a?b C. a?b?a//b 【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量相等的定义和平行向量的定义推导.
【详解】对于选项A,模长相等的向量不一定是相等的向量，所以错误.
对于B，由于向量不能比较大小，错误.对于选项C，由于向量相等，则可以知道他们必定共线，成立，对于D，由于单位向量方向不相同，则不相等，错误，故选C. 【点睛】本题考查向量相等属于基础题.
定义：模相等，方向相同；平行向量的定义：方向相同或相反，
B. a?b?a?b D. 单位向量都相等
2.若a,b,c?R,a?b，则下列不等式成立的是（ ）
11? abab?2C. 2 c?1c?1A. 【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.
,b??1，【详解】解：选项A：取a?1此时满足条件a?b，则
所以选项A错误；
选项B：取a?1,b??1，此时满足条件a?b，则a?1,b?1，显然a2?b2，所以选项B错误；
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的B. a2?b2 D. ac?bc
221111显然?，?1,??1，
abab选项C：因为c2?1?1，所以0?选项C正确；
ab1?a?b，因为，所以， ?1c2?1c2?1c2?1选项D：取c=0，当a?b，则a|c|?0,b|c|?0，所以a|c|?b|c|，所以选项D错误； 故本题选C.
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.
3.等差数列{an}A. 52 【答案】A 【解析】
前n项和为Sn，若a3?a7?a11?12，则S13?（ ）
B. 54
C. 56
D. 58
分析：由题意，根据等差数列的性质先求出a7?4，再根据数列中项的性质求出S13的值． 详解：因为等差数列?an?，且a3?a7?a11?12，?a3?a7?a11?3a7?12 ，即a7?4 ． 又S13?13a7，
所以S13?13?4?52． 故选A.．
点睛：本题考查等差数列的性质，熟练掌握性质，且能做到灵活运用是解答的关键．
4.若bcosC?ccosB?asinA，其中a,b,c为?ABC的内角A,B,C所对的边，则?ABC的形状为（ ） A. 锐角三角形 C. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】
根据正弦定理将bcosC?ccosB?asinA中的边化为角，再由两角和的正弦公式、诱导公式求
的B. 直角三角形 D. 不确定
- 2 -
得sinA?1，可得A??2，然后对三角形的形状作出判断．
【详解】由bcosC?ccosB?asinA及正弦定理得sinBcosC?sinCcosB?sin2A， ∴sinA?sin?B?C??sinA，
2又在?ABC中，sinA?0， ∴sinA?1， ∴A??2，
∴?ABC为直角三角形． 故选A．
【点睛】判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，故常用的方法有两种：一是根据余弦定理，进行角化边；二是根据正弦定理，进行边化角．
5.平面?与平面?平行的条件可以是（ ） A. ?内有无数多条直线都与?平行 B. 直线a??,b??，且a//?,b//?
C. 直线a//?,a//?，且直线a不在?内，也不在?内 D. 一个平面?内两条不平行的直线都平行于另一个平面? 【答案】D 【解析】 【分析】
利用?、?可能相交，判断A,B,C，利用面面平行的判定定理判断选项D. 【详解】对于A,?内有无数多条直线都与?平行，则?、?可能相交，A错； 对于B,直线a??，b??，且?∥?，b?，则?、?可能相交，B错；
对于C,直线a?，a?，且直线a不在?内，也不在?内, ，则?、?可能相交，C错； 对于D,一个平面内两条不平行的直线必相交，根据平面与平面平行的判定定理可知D正确． 故选D．
- 3 -
【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定定理，意在考查对基本定理的掌握情况，属基础题．
16.在数列?an?中，a1?2，an?1?an?ln(1?)，则an?
nA. 2?lnn
B. 2?(n?1)lnn
C. 2?nlnn
D.
1?n?lnn
【答案】A 【解析】 试题分析：在数列
中，
?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)????????(a2?a1)?a1
?lnnn?12?ln????????ln?1 n?1n?21nn?12?ln(????????)?1
n?1n?21?lnn?1
故选A.
考点：熟练掌握累加求和公式的运算性质
7.在如图的正方体中，M,N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
及其对数
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A. 30° 【答案】C 【解析】
B. 45? C. 60? D. 90?
试题分析：连接BC1，AD1，因为MN//BC1//AD1,所以?D1AC就是异面直线AC和MN所成的角， 因为?DAC1为等边三角形，所以?D1AC?60. 考点：异面直线所成的角.
点评：找异面直线所成的角：一是选点，二是平移，三是转化为相交直线所成的角.本小题汲及到中点，联想到中位线，所以连接AD1，就可找出?D1AC就是异面直线AC和MN所成的角.
8.已知向量m?(a,?1),n?(2b?1,3)(a?0,b?0)，若mPn，则A. 12
B. 8?43 C. 15
rr21?的最小值为（ ） abD.
10?23
【答案】B 【解析】 【分析】
因为m//n，所以对向量坐标运算，得到3a?2b?1，根据基本不等式的形式，利用基本不等式求出结果. 【详解】
2121?=(?)?3a+2b?可构造出ababm?(a,?1),n?(2b?1,3)共线，?3a?2b?1?0，即3a?2b?1，
所以
21214b3a4b3a?=(?)??3a?2b??6???2?2??8?43?8，当且仅当abababab
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2b?3a时等号成立.
【点睛】本题考查平面向量平行的坐标运算，均值定理求最小值，考查数学的转化能力，属于基础题.
9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）
A. 8?2? 3B. 8??3 C. 15 D.
2? 3【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图还原几何体，得到几何体为正方体中放置一个倒立的圆锥，根据正方体和圆锥的体积公式求几何体的体积即可.
【详解】由题意可知该几何体是正方体中放置一个倒立的圆锥，那么可知其底面半径为1，高度为2，那么其体积V?2?2?2???2?8?132?，选A 3【点睛】本题考查由三视图还原几何体及几何体的体积公式，属于基础题.
10.在?ABC中，AC?A. 0?B?C. 0?B?【答案】B 【解析】
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2,BC?22，则B的取值范围是（ ）
B. 0?B??4 或
?6 或
?43??B?? 4D. 0?B??65??B?? 6【分析】
设AB?x（2?x?32），利用余弦定理建立cosB关于x的函数，从而求出B的范围. 【详解】解：设AB?x，则2?x?32，
x2?8?21?6?13由余弦定理可得，cosB?， ?x???26???x?42242x42?根据余弦函数的性质可知，0?B??6,故选B.
【点睛】本题考查三角形已知两边求角范围，余弦定理的应用，三角形的构成条件，基本不等式，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题.
C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为11.设A，B，93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为
A. 123 【答案】B 【解析】
B. 183 分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判断出当DM?平面ABC时，三棱锥D?ABC体积最大，然后进行计算可得。 详解：如图所示，
的C. 243 D. 543 - 7 -
点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，
当DM?平面ABC时，三棱锥D?ABC体积最大 此时，OD?OB?R?4
SABC?3AB2?93 4?AB?6,
点M为三角形ABC的重心
?BM?2BE?23 3?RtABC中，有OM?OB2?BM2?2 ?DM?OD?OM?4?2?6
1??VD?ABC?max??93?6?183 3故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM?平面ABC时，三棱锥D?ABC体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到BM?型。
12.如图，在?ABC中，设AB?a,AC?b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP?ma?nb，则m?n?（ ）
2BE?23，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题3uuuvvvuuuvuuuvvv
A.
1 2B.
2 3C.
6 7D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得a?
13AP?2QR及AP?QR?b，解22- 8 -
方程可求得AP?24a?b，即可得到m，n的值，所以得到结果. 77【详解】解：由题意可得AP?2QP,QB?2QR，
AB?a?AQ?QB?1AP?2QR，① 213AP?QR?AP?QR?b，② 22AC?AP?PC?AP?RP?AP?QP?QR?AP?24a?b. 77uuuv246vv再由AP?ma?nb可得m?,n?,m?n?.
777由①②解方程求得AP?【点睛】本题考查向量的基底表示，向量共线，考查学生的运算能力，观察能力，属于中档题.
二、填空题。
13.已知关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集是(?2,1)，则不等式cx2?bx?a?0的解集是______． 1【答案】(?1，)
2【解析】 【分析】
通过ax2?bx?c?0的解集可以确定b,c与a的关系以及a?0，代入所求不等式，化简为
2x2?x?1?0，求解不等式得到结果.
【详解】由ax2?bx?c?0的解集是??2,1?可知：?2和1是方程ax2?bx?c?0的两根且a?0
?b??1??b??a?a??? ?cc?2a?????2??acx2?bx?a?0?2ax2?ax?a?0
?1??x?又a?0 ?2x?x?1?0 ??1,?
?2?2【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，关键在于通过解集确定方程
- 9 -
的根，属于基础题.
?x?0?y?0?14.设x,y满足约束条件?，则z?x?2y的最小值为______ ．
x?y??1???x?y?3【答案】?3 【解析】 【分析】
先画出约束条件所代表的平面区域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位置，求出最优解代入目标函数求出最值即可.
x?0,y?0, 所代表的平面区域，如图中阴影 【详解】解：先画出约束条件{x?y??1,x?y?3,然后画出目标函数如图中过原点虚线所示 平移目标函数，在点A处取得最小值 由{x?y??1 ，解得A?1,2?
x?y?3所以目标函数z?x?2y最小值为1?2?2??3 故答案为：?3.
【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函数时由目标函数z?x?2y中y前系数小
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于0，故向上移越移越小.
15.我国古代数学家刘微在《九章算术·注释》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知极远者，必用重差.”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次（或两次以
m）,则上）测量的方法加以实现，为测量某山的高度，在A,B测得的数据如图所示（单位: A到山顶的距离AM?_____．
【答案】100(1?3) 【解析】 【分析】
根据图形，可得?ABM中各个角的度数，又知AB的长度，由正弦定理
100AM?可求出AM的长.
sin?AMBsin?ABM【详解】如图：?MBN=45， 所以?MBA=135，?AMB=15.所以，在?ABM中，由
100AM?100AM?正弦定理可知：，即6?22，即AM?100sin?AMBsin?ABM42【点睛】本题考查三角形正弦定理的应用，属于基础题.
16.设函数f(x)?2x?cosx,?an?是公差为
?3?1.
??的等差数列，82f?a1??f?a2????f?a5??5?，则??f?a3????a1a5?______．
【答案】【解析】
由已知，?an?是公差为
?的等差数列，则a1?a2?a3?a4?a5?5a3，由和差化积公式得， 8- 11 -
cosa1?cosa2?cosa3?cosa4?cosa5??cosa1?cosa5???cosa2?cosa4??cosa3??????????????????cos?a3???cos?a3?????cos?a3???cos?a3????cosa34?4????8?8?????? ?2cosa3cos?4?2cosa3cos?8?cosa3?cosa31?2?2?2??则f?a1??f?a2??f?a3??f?a4??f?a5??10a3?cosa31?2?2?2?5?， 比较两边等式得，cosa3?0且10a3?5?，解得a3?所以
???2，
??????????????3?213?22??f?a3????a1a5???2?2??cos2???2?2?8??2?2?8????16?16.
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三、解答题.
17.已知|a|?1,|b|?1，且向量a与b不共线. （1）若a与b的夹角为45?，求(2a?b)?(a?b)；
（2）若向量ka?b与ka?b的夹角的钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1) 1?【解析】 【分析】
（1）因为a与b的夹角为45?，所以可求得a?b=2 (2) -1?k?1且k?0 222.展开(2a?b)?(a?b)代入a?b=22即可求得结果. （2）由向量ka?b与ka-b的夹角的钝角，可得(ka?b)?(ka-b)?0且不反向共线，展开解k即可. 【详解】解：（1）
rrrrrra与b的夹角为45?，
22. ?22?a?b?abcos45??1?1?
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?(2a?b)?(a?b)?2a2?a?b?b2?2?（2）
22. ?1?1?22向量ka?b与ka?b的夹角为钝角，
rrrr?(ka?b)?(ka-b)?0，且不能反向共线，
r2r2?ka?b?k2?1?0，解得?1?k?1,k?0
2?实数k的取值范围是-1?k?1且k?0 .
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查已知向量夹角求参，考查向量夹角为钝角的求解运算，考查了学生转化的能力，属于基础题.
18.已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3bcosA?ccosA?acosC. （1）求tanA的值；
（2）若a?42，求?ABC的面积的最大值. 【答案】(1)22；(2)82. 【解析】 【分析】
（1）由3bcos?A?ccos?A?acosC，可得3sinBcos?A?sinCcos?A?sinAcosC，化为
3cosA?1，可得siA?n?1Ac，o可s得
2tanA?sinAcosA；（2）
32?a2?b2?c2?2bccosA，再利用基本不等式的性质可得bc?24，利用
1S△ABC?bcsinA即可得出．
2【详解】（1）∵3bcos?A?ccos?A?acosC，
A?sinCcos?A?sinAcosC?sin?A?C??sinB， ∴3sinBcos?122， sinB?0，化为：cosA?，∴sinA?1?cos2A?33可得tanA?sinA?22． cosA222（2）32?a?b?c?2bccosA?2bc?2bc?14?bc，可得bc?24， 33
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当且仅当b?c?26取等号，∴SABC?1122bcsinA??24??82， 223∴当且仅当b?c?26时，ABC的面积的最大值为82．
【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.如图所示，正三棱锥ABC?A1B1C1高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点.
（1）证明：DE//平面ACC1A1；
（2）若三棱锥E?DBCx?y?2?0体积为{x?y?1?0 ，求该正三棱柱的底面边长.
x?0【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】 【分析】
（1）连接AB1,AC1，推导出DE//AC1，由此能证明DE//平面ACC1A11．
（2）由VE?DBC?VD?EBC，作AF?BC交BC于点F，由正三棱柱的性质，得AF?平面
BCC1B11，设底面正三角形边长为a，则三棱锥D?EBC的高h?1AF?3a，由此能求
24出该正三棱柱的底面边长．
【详解】（1）如图，连接AB1,AC1，因为D是A1B的中点，E是B1C1的中点，
的的
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所以在?B1AC1中，DE//AC1,
DE?平面ACC1A1，
AC1? 平面ACC1A1，
所以DE//平面ACC1A1.
（2）
解：由等体积法，得VE?DBC?VD?EBC，
因为D是A1B的中点，所以点D到平面BCC1B1的距离是点A， 到平面BCC1B1的距离的一半.
如图，作AF?BC交BC于点F，由正三棱柱的性质可知，AF?平面BCC1B1.设底面正三角形的边长a，则三棱锥的高h?13AF?a， 241S?EBC??a?2?a ,
2所以VD?EBC?1323，解得a?1， S?EBC?h?a?31212所以该正三棱柱的底面边长为1.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
2?20.已知正项数列?an?的前n项和为Sn，满足2Sn?1?2an?an(n?N).
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（Ⅰ）（i）求数列?an?的通项公式； （ii）已知对于n?N?，不等式
111???S1S2S32an?1?1?M恒成立，求实数M的最小值； Sn（Ⅱ） 数列?bn?的前n项和为Tn，满足4得数列?bn?为等比数列？ 并说明理由. 【答案】(1) （i）an?【解析】 【分析】
??Tn?2(n?N?)，是否存在非零实数?，使
n?122（ii） (2)见解析 2922（1）（i）由2Sn?1?2an?an知2Sn?1?1?2an?1?an?1，作差求得an?an?1?1，得到数列2n?1n(n?3)aa?S?ii为等差数列，求得.（）由等差数列前n项和公式得到，对Sn?n?nn24?122?，从而得到M的Sn911114?11??????取倒，得到??，裂项相消求得SSS3Sn3?nn?3?12最小值. （Ⅱ）由（i）可知an?n?1n，所以得到4??Tn?2，求解数列?bn?得到2bn?1=4bn,(n?2)，检验
b2
?2，所以不存在?. b1
2【详解】解：（1）（i）n?1时，2a1?1?2a1?a1，又an?0,?a1?1，
当n?2时，2Sn?1?2an?an,作差整理得：
222Sn?1?1?2an?1?an?1?n?N?.
*an?an?1?2?an?an?1??an?an?1?，
an?0,?an?an?1?1， 2n?1. 2?数列{an}的等差数列，an?（ii）由（i）知Sn?n(n?3)， 4?144?11??????， Snn(n?3)3?nn?3?
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?111???S1S2S3?1 Sn?4??1??11??11??1????????????3??4??25??36?4?11?1???3?234?11??3?6??1??11??11???1????????????? ?n?2n?1??n?1n?2??nn?3???111???? n?1n?2n?3??111?22?? ??n?1n?2n?3?9?1?M恒成立，?M?22， Sn9111???不等式
S1S2S3?实数M的最小值是
（2）由42an?122. 9??Tn?2n?N?，知4n??Tn?2，
，当n?1时，b1???Tn?1?4n?26??，
当n?2时，bn?Tn?Tn?1?1??4n?2??1??4n?1?2??3??4n?1，
?bn?1?3??4n?4bn,(n?2)，
数列{bn}是等比数列，?b2?4b1，
b2?12?,?b2?2，与b2?4b1矛盾， b1?不存在非零实数?，使得数列{bn}为等比数列.
【点睛】本题考查数列求通项公式知Sn求an，考查数列裂项相消求和，考查等比数列的证明，考查了学生的计算能力，属于中档题.
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四川省绵阳南山中学2024-2024学年高一6月月考数学试题 Word版含解析
