第十讲 计数之加乘原理与技巧
本讲内容非常有趣，不过要在计数过程中达到“不重不漏”，必须掌握计数问题的原理与一些技巧才行。在小升初的考试与其它的竞赛活动中，计数问题出现频率很高。 教学目标 1． 回顾分类枚举与排列组合； 2． 精讲计数问题的经典范例。
专题回顾
排列
最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足： 它们所含的元素均相同； 它们的顺序也一样．
一般地，从n个不同元素中取出m个元素的排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作：An(m≤n)．
从n个元素中取出m个元素排成一排，有多少种排法，是从n个元素中取出m个元素的排列数．这个问题可以看成有m个位置，从n个元素中取m个元素放到m个位置中，可分m个步骤：
第①步：第1个位置有n种选择； 第②步：第2个位置有n-1种选择； 第③步：第3个位置有n-2种选择； ……
第m步：第m个位置有n-m+1种选择．
m由乘法原理：An? n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．——乘积中共有m项
m特别地，当m=n时， An?An?n??n?1?...?2?1叫做n个元素的全排列数．
mn1×2×3×…×n称为n的阶乘，记作n!因此An?mmn! (m≤n)．
?n?m?!排列数乘积形式的公式：An =n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．
排列数阶乘形式的公式： An?
mn! (m≤n)．
n?m!??组合
有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了，这种问题称为组合问题，组合问题与
排列问题的区别就是：组合问题是将元素取出即可，不需排序，而排列问题是取出后要进行排序．
一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同的元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出，n个元素的组合．
从n个不同元素中，每次取出m个元素的组合总数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cn (m≤n)．从n个元素中取出m个元素的排列问题可以看成分两步完成： 第①步：从n个元素中取出m个元素，这时有多少种取法?实际上就是从n个元素中取出m个元素的组合数Cn；
第②步：对取出的m个元素进行排列，排法数就是Am由乘法原理可知：An?Cnmmmmm．
Amm，因此，CnmAnm?m． Am将排列数公式代人得：Cn?mn.?n?1?...?n?m?1?n!m或 Cn?.
n?m!m!m.?m?1?...3.2.1??
分类枚举
【例1】 ★★★（《小数报》数学竞赛决赛填空题第ll题）
方格纸上有一只小虫，从直线AB上的一点O出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行．方格纸上每小段的长为1厘米．小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点．如果小虫一共爬过2厘米，那么小虫的爬行路线有____种；如果小虫一共爬过3厘米，那么小虫爬行的路线有___种．
【解】为了方便，下面叙述省去“上、下、左、右”4个字前面的“向”． (1)小虫爬过2厘米，可有以下6种路线，分别是： 左，右；右，左； 上，下；下，上；
左，左；右，右．
(以上前4种路线均回到O点)
(2)小虫爬过3厘米，可有20种路线，分别是： 上，左，下；上，右，下； 下，左，上；下，右，上； 上，下，左；上，下，右； 下，上，左；下，上，右．
(以上8种都是先“上”或先“下”．) 如果第一步为“左”或“右”，那么转化为第(1)题，各有6种路线，一共是
8+6×2=20(种)
答案是：(1)6；(2)20。
【点评】注意前面的结论，可以在后面应用。
一般而言，前后相关的两个问题，前面是一种“引桥”或者说是一架“梯子”。在较难的问题中，有时少了这么一个过程，题目就显得非常之难。 本题主要是分类枚举思想的运用。
【例2】 在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，
使它们相加时不进位？
【解】相邻两数相加不需进位的数对中，前一个数可分成四类： （1）1999，1个；
由加法原理知，这样的数对共有 1+5+25+125=156（个）。
加乘原理
【例3】
★★（“希望杯”全国数学邀请赛）
从2、3、5、7、11这五个数中，任取两个不同的数分别当作一个分数的分子和分母，这样的分数有 个，其中的真分数有 个。
【解】从这五个数中任取一个作分母，有5种取法，再从剩下的4个数中任取一个作分子，有4种取法。可构成不同的分数共有 A5=5×4=20(个)
因为任意两个数，交换它们的位置，正好成对：一个真分数与一个假分数，所以，构成的分数中，真、假分数一样多，各有10个。
2
【例4】
★★★（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛）
五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。
六年级下册数学试题-小升初：第十讲 计数之加乘原理与技巧(解析版)全国通用
