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常数项级数：
专升本高等数学公式（全）
n?11?qn等比数列：1?q?q???q?1?q(n?1)n等差数列：1?2?3???n?2111调和级数：1?????是发散的23n2
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limnun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛Un?1?设：??lim，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??
交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理： ??un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和n??n??
绝对收敛与条件收敛：
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(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(?1)n调和级数：?n发散，而?n收敛；1 级数：?n2收敛；ｐ?１时发散1 p级数： ?npp?1时收敛 幂级数：
1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn?? x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1
??0时，R?求收敛半径的方法：设limn??an?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???an????时，R?0?
函数展开成幂级数：
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f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?) 余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!
一些函数展开成幂级数：
m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x?? (?1?x?1)2!n!
352n?1xxxsinx?x?????(?1)n?1?? (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?
可降阶的高阶微分方程
类型一：y(n)?f(x)
解法（多次积分法）：令u?y(n?1)?类型二：y''?f(x,y') 解法：令p?y'?dp?f(x,p)?一阶微分方程 dxdu?f(x)?多次积分求f(x) dx类型三：y''?f(y,y') 解法：令p?y'?dpdpdydp??p?f(y,p)?类型二 dxdydxdy类型四：y'?p(x)y?Q(x)
?p(x)dx若Q(X)等于0，则通解为y?Ce?（一阶齐次线性）。若不等于0，通解?p(x)dx??p(x)dxdx?c?（一阶齐次非线性）。 y?e?Q(x)e?????一阶齐次非线性方程的通解是对应齐次方程的通解与它的一个特解之和。 三、线性微分方程
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专升本高等数学公式全集
