有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）
?a0?bn?m0a0xn?a1xn?1??an??一、lim??0n?m （系数不为0的情况）
x??bxm?bxm?1??b01m??n?m???1sinx二、重要公式（1）lim（2）lim?1?x?x?e （3）limna(a?o)?1 ?1
n??x?0x?0x（4）limnn?1 （5）limarctanx?n???2x?? （6）limarctanx??x????2
（7）limarccotx?0 （8）limarccotx?? （9）lime?0
x??x???x???xx?1 （10）lime?? （11）lim?x???x?0xx三、下列常用等价无穷小关系（x?0）
sinxx tanxx arcsinxx arctanx?x 1?cosx12x 2
ln?1?x?x ex?1x ax?1xlna ?1?x??1?x
四、导数的四则运算法则
u??u?v?uv?????u?v??u??v? ?uv??u?v?uv? ???2
v?v?五、基本导数公式
⑴?c???0 ⑵x??x???1 ⑶?sinx???cosx
22⑷?cosx????sinx ⑸?tanx???secx ⑹?cotx????cscx ⑺?secx???secx?tanx ⑻?cscx????cscx?cotx
x⑼e????exx ⑽a????ax1lna ⑾?lnx???
x11?x2⑿loga?x1 ⒀?arcsinx??????xlna ⒁?arccosx????11?x2
⒂?arctanx???1???1⒄arccotx ⒃??1?x21?x2?n??n??n??x???1⒅
??x??12x
六、高阶导数的运算法则 1）??u?x??v?x????u?x??v?x? （2）??cu?x????n??cu?n??x?
（3）??u?ax?b????n??aun?n??ax?b? （4）??u?x??v?x????n??n?k?n?k???cnu?x?v(k)?x? k?0n七、基本初等函数的n阶导数公式 （1）x??n?n??n! （2）?eax?b??n??an?eax?b (3)?ax??n??axlnna
(4)??sin?ax?b???????ansin?ax?b?n??
2??(5) ??cos?ax?b????n?????ancos?ax?b?n??
2??n(6)
?1????ax?b??n??n????1?n?1an?n!?ax?b?nn?1 (7)
??ln?ax?b??????1?an??n?1?!?ax?b?
八、微分公式与微分运算法则
⑴d?c??0 ⑵dx???x??1dx ⑶d?sinx??cosxdx ⑷d?cosx???sinxdx ⑸d?tanx??secxdx ⑹d?cotx???cscxdx
22??⑺d?secx??secx?tanxdx ⑻d?cscx???cscx?cotxdx ⑼de??x??exdx ⑽d?ax??axlnadx ⑾d?lnx??x1dx x⑿dloga??111dx ⒁d?arccosx???dx dx ⒀d?arcsinx??22xlna1?x1?x⒂d?arctanx??11 ⒃dxdarccotx??dx ??221?x1?x
九、微分运算法则
⑴d?u?v??du?dv ⑵d?cu??cdu ⑶d?uv??vdu?udv ⑷d?十、基本积分公式
?u?vdu?udv ??2vv??x??1dx?c ⑶??lnx?c ⑴?kdx?kx?c ⑵?xdx???1x?
ax?c ⑸?exdx?ex?c ⑹?cosxdx?sinx?c ⑷?adx?lnax12dx?sec?cos2x?xdx?tanx?c ?112⑼? ⑽?cscxdx??cotx?c?1?x2dx?arctanx?c sin2x?⑺sinxdx??cosx?c ⑻⑾
?11?x2dx?arcsinx?c
十一、下列常用凑微分公式 积分型 换元公式 ??f?ax?b?dx?f?x??x??1dx?1f?ax?b?d?ax?b? ?au?ax?b ??1f?x??d?x?? u?x? ?1f?lnx??dx??f?lnx?d?lnx? xu?lnx u?ex u?ax ??f?ex??exdx??f?ex?d?ex? f?ax??axdx?1xx fada?????lna?f?sinx??cosxdx??f?sinx?d?sinx? ?f?cosx??sinxdx???f?cosx?d?cosx? u?sinx u?cosx ????f?tanx??sec2xdx??f?tanx?d?tanx? f?cotx??csc2xdx??f?cotx?d?cotx? f?arctanx??f?arcsinx??u?tanx u?cotx 1dx??f?arctanx?d?arctanx? 1?x211?x2dx??f?arcsinx?d?arcsinx?
u?arctanx u?arcsinx
十二、补充下面几个积分公式
?tanxdx??lncosx?c ?cotxdx?lnsinx?c ?secxdx?lnsecx?tanx?c ?cscxdx?lncscx?cotx?c
11xdx?arctan?c ?a2?x2aa
11x?adx?ln?c ?x2?a22ax?a?1a2?x2dx?arcsinx?c a?1x2?a2dx?lnx?x2?a2?c
十三、分部积分法公式
⑴形如xneaxdx，令u?x，dv?edx
?nax形如xnsinxdx令u?x，dv?sinxdx
??n形如xncosxdx令u?x，dv?cosxdx ⑵形如xnarctanxdx，令u?arctanx，dv?xdx
n??n形如xnlnxdx，令u?lnx，dv?xdx
?n⑶形如eaxsinxdx，eaxcosxdx令u?e,sinx,cosx均可。
?ax
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
(1)a2?x2 x?asint (2) a2?x2 x?atant (3)x2?a2 x?asect 【特殊角的三角函数值】 （1）sin0?0 （2）sin?6??31? （3）sin? （4）sin?1） （5）sin??0
32223?1? （3）cos? （4）cos?0） （5）cos???1 23223?? （3）tan?3 （4）tan不存在 （5）tan??0 332（1）cos0?1 （2）cos?6?（1）tan0?0 （2）tan?6?（1）cot0不存在 （2）cot在
十五、三角函数公式
1.两角和公式
?6?3 （3）cot?3?3?（4）cot?0（5）cot?不存32sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB
cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB
tanA?tanBtanA?tanB tan(A?B)?
1?tanAtanB1?tanAtanBcotA?cotB?1cotA?cotB?1 cot(A?B)? cot(A?B)?cotB?cotAcotB?cotAtan(A?B)?
2.二倍角公式
sin2A?2sinAcosA cos2A?cos2A?sin2A?1?2sin2A?2cos2A?1 tan2A?2tanA 21?tanA
3.半角公式
sinA1?cosAA1?cosA? cos? 2222A1?cosAsinAA1?cosAsinA??? cot? 21?cosA1?cosA21?cosA1?cosAtan
4.和差化积公式
sina?sinb?2sina?ba?ba?ba?b sina?sinb?2cos ?cos?sin2222a?ba?ba?ba?b cosa?cosb??2sin cosa?cosb?2cos?cos?sin2222tana?tanb?sin?a?b?
cosa?cosb
5.积化和差公式
11 sinasinb???cosa?b?cosa?bcosacosb???cos?a?b??cos?a?b????????
2?2?11 sinacosb??sina?b?sina?bcosasinb???sin?a?b??sin?a?b????????
2?2?
6.万能公式
a1?tan22 cosa?sina?a1?tan21?tan222tan
aa2tan2 tana?2 aa1?tan222
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