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x2y2A.??1
94x2y2C.??1
94二、填空题
y2x2B.??1
94y2x2D.??1
943. △ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－
1aa,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,
222则动点A的轨迹方程为_________.
4. 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.
三、解答题 5. 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
x2y26. 双曲线2?2=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Qab与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.
x2y27. 已知双曲线2?2=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、
mnQ.
(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；
(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.
x2y28. 已知椭圆2?2=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分
ab线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积
。
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取得最大值时，求k的值.
解析与答案
一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆. 答案：A
2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0) ∵A1、P1、P共线，∴
y?y0y ?x?x0x?3y?y0y? x?x0x?322∵A2、P2、P共线，∴
x0y093yx2y2解得x0=,y0?,代入得??1,即??1
xx9494答案：C
11二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,
2216x216y2aa?1(x?). ∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为2?42a3a216x216y2a?1(x?) 答案：2?24a3a4.解析：设P(x,y），依题意有
5(x?5)2?y2?3(x?5)2?y2,化简得P点轨迹方程为4x+4y22
－85x+100=0.
22
答案：4x+4y－85x+100=0
三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为
x2y2?=1(y≠0) 81726.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y). ∵A1(－a,0),A2(a,0).
y0?y??x0??x(x0??a)?x?ax?a??1??0 得?由条件? x2?a2y0?y??y0???1y???x?ax0?a而点P(x0,y0)在双曲线上，∴bx0－ay0=ab.
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222222
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x2?a2222
即b(－x)－a()=ab
y2
2
2
化简得Q点的轨迹方程为：ax－by=a(x≠±a).
7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0), 则A1P的方程为：y=
22224
y1(x?m) x1?my1(x?m) x1?m ①
A2Q的方程为：y=－ ②
①×②得：y=－
2
y1222x1?m(x2?m2)
22 ③
x1y1n222又因点P在双曲线上，故2?2?1,即y1?2(x1?m2).
mnmx2y2代入③并整理得2?2=1.此即为M的轨迹方程.
mn(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.
(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±m?n,0)，准线方程为x=±
22m2m?n22,离心率
m2?n2e=；
m(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±
m?n),准线方程为y=±
22n2n?m22,离心率
n2?m2e=.
n8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ， ∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).
222
|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)+y1=(2a).
x1?c?x?0??2 又??y?y10?2?得x1=2x0－c,y1=2y0.
222222
∴(2x0)+(2y0)=(2a)，∴x0+y0=a.
222
故R的轨迹方程为：x+y=a(y≠0)
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a21(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB
2212
当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a.
2此时弦心距|OC|=
|2ak|1?k2.
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，
?|OC||2ak|23??cos45??,?k??. |OA|a1?k223
Part 4 高考中的动点轨迹问题
uuuuruuuruuuuruuur1．已知两点M(?1,0)、N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|?|NP|?MNgMP，求动点
P 的轨迹方程．
2．已知动点P到定点F的轨迹C的方程．
?2,0的距离与点P到定直线l：x?22的距离之比为?2，求动点P2x2y23．已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的右焦点F2与抛物线C2:y2?4x的焦点重合，椭圆C1与
ab|PF2|?抛物线C2在第一象限的交点为P，
5.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点, 圆C3与y轴3交于M,N两点，且|MN|?4，求椭圆C1的方程．
4．已知点F?0,1?，直线l：y??1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且
uuuruuuruuuruuurQPgQF?FPgFQ，求动点P的轨迹C的方程．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y?x相切于坐标
x2y2?1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，求圆C的方程． 原点O，椭圆2?a9x2y226．设b?0，椭圆方程为2?2?1，抛物线方程为x?8(y?b)．如图6所示，过点F(0，b?2)2bb作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点
F1，求满足条件的椭圆方程和抛物线方程．
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7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为
223，两个焦点分别为F1和F2，椭圆2G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x?y?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak，求椭圆G的方程．
28．已知曲线C:y?x与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB．记曲
线C在点A和点B 之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．
x2y239．已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?，求双曲线C
ab3的方程．
10．已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆C的方程（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
OPOM，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． ?e （e为椭圆C的离心率）
rrrr11．设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动点
M(x,y)的轨迹为E，求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状．
y2x2512．已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的距离为
ab225，求双曲线C的方程． 513．已知抛物线x?2py?p?0?上一点A?m,4?到其焦点的距离为
217，求抛物线方程． 414．已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为?(??4)，求椭圆的方程．
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专题：解析几何中的动点轨迹问题
