2013年山东省专升本高等数学备考资料(专
题二)
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2013年山东省专升本高等数学（专业课）备考资料
专题二：导数与微分
时间：2012年6月11日 制作人：曲天尧 <考纲展示>：
1. 理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数； 2. 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程；
3. 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法（链式法则）；
4. 掌握隐函数的求导方法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数； 5. 理解函数微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的微分,会求简单函数的n阶导数； 6. 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义；
7. 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式； 8. 理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并且会解简单的应用问题；
9. 会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点； 10. 会求曲线的水平渐近线与铅垂渐近线.
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<题型分类>：题型一：导数的定义及利用导数的定义判断分段函数在分界点处的可导性与连续性
<方法归纳>：1.导数的定义：函数的导数共有三个等价定义：
f＇（x0）=limΔx→0[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx（用于证明）=limx→x0[f（x）-f（x0）]/（x-x0）（讨论验证可导性）=limh
→0[f（x0+h）-f（x0）]/h（一般作为选择题考查导数的定
义）.
注意：①导数的定义要求分子因变量与自变量一一对应；
②导数定义的衍生形式：设函数y=f（x）在x=x0处可导，则limh→0[f（x0+ah）-f（x0+bh）]/h=（a-b）f＇（x0）（其中，a、b∈R）.
2.分段函数在分界点处可导性以及连续性的判定：设f（x）是分段函数，x0是f（x）的一个分界点；若limx→x0-f（x0）=limx→x0+f（x0），则f（x）在x=x0处连续，反之则间断；同理，若f＇-（x0）=f＇+（x0），则分段函数f（x）在x=x0处可导.其中：f＇-（x0）（左导数）= limΔx→0-[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx= limx→x0 -[f（x）-f（x0）]/（x-x0），f＇+（x0）（右导数）= limΔx→0+[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx= limx
→x0
+
[f（x）-f（x0）]/（x-x0），所用到的极限求法一般以两
个重要极限、等价无穷小代换和洛必达法则为主.
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注意：分段函数在每一段上的函数不可以用基本初等函数的导数公式和求导法则来求导. <典例分析>：
例1. 下列选项中可作函数f（x）在x0的导数定义的是（ ）（2007年真题） A.limn→∞[f（x0+1/n）-f（x0）] B.limx→x0[f（x）-（x0）]/（x-x0） C.limΔx→0[f（x0+Δx）-f（x0-Δx）]/ Δx D.limΔx→0[f（x0+3Δx）-f（x0+Δx）]/ Δx
例2. 函数f（x）=┃x┃，在点x=0处（ ）（2008年真题） A.可导 B.间断 C.连续不可导 D.连续可导
例3. 设函数f（x）在点x0处可导，且f＇（x0）≠0，则f＇
（x0）不等于（ ）（2008年真题） A. limx→x0[f（x）-（x0）]/（x-x0） B. limΔx →0[f（x0+Δx）-f（x0）]/ Δx C. limΔx →0[f（x0-Δx）-f（x0）]/ Δx D. limΔx →0[f（x0-Δx）-f（x0）]/ （-Δx）
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例4. 设函数f（x）在点x0处可导，则limh→0[f（x0+h）-f
（x0-h）]/h=A，则A=（ ）（2009年真题） A. f＇（x0） B. 2f＇（x0） C.0 D.1/2 f＇（x0）
例5. 设函数f（x）在x=x0处可导，则limh→0[f（x0+3h）-f
（x0-h）]/h=（ ）（2009年真题）
A. 4f＇（x0） B. 3f＇（x0） C.2 f＇（x0） D. f＇（x0）
例6. 已知f＇（1）=1，则limΔx→0[f（1-2Δx）-f（1）]/Δx
等于（ ）（2010年真题） A.1 B.-1 C.2 D.-2
例7. 已知f＇（0）=3，则limΔx→0[f（-Δx）-f（0）]/4Δx=
（ ）（2011年真题）
A.1/4 B.-1/4 C.3/4 D.-3/4
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