汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学） 联赛一试真题 编者：周钢
2014年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1. 若正数a,b满足2?log2a?3?log3b?log6?a?b?，则2. 设集合?11
?的值为________. ab
?3??b1?a?b?2?中的最大元素与最小元素分别为M,m，则M?m的值为__________. ?a?3. 若函数f?x??x2?ax?1在?0,???上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 4. 数列?an?满足a1?2，an?1?a20142?n?2?? . ann?N?，则
a1?a2???a2013n?1??5. 正四棱锥P?ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，则异面直线MNM,N分别是边AB,BC的中点，与PC之间的距离是__________.
6. 设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q.若PF2?F1F2，且3PF1?4QF1,则椭圆?的短轴与长轴的比值为__________.
7. 设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I.若点P满足PI?1，则?APB与?APC的面积之比的最大值为__________.
8. 设A,B,C,D是空间四个不共面的点，以
1的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边2是相互独立的，则A,B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________.
二、解答题
9. 平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件： 过P可作抛物线y?4x的两条切线，两切点连线lP与PO垂直. 设直线lP与直线PO，x轴的交点分别为Q,R. （1）证明R是一个定点； （2）求
1
2PQQR的最小值.
汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学） 联赛一试真题 编者：周钢
10. 数列?an?满足a1??6?，an?1?arctan?secan?n?N.求正整数m，使得
??sina1?sina2???sinam?
1. 10011. 确定所有的复数?，使得对任意复数z1,z2z1,z2?1,z1?z2，均有
???z1???2??z1??z2???2??z2.
2
汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学） 联赛一试真题 编者：周钢
答案：
t?2t?3t1、108 令2?log2a?3?log3b?log6?a?b??t，则a?2，b?3，a?b?6，
11a?b6t?t?2t?3?22?33?108； 所以??abab2?32、5?23 a?1?3?3，b?2，所以a?b?5，即M?5， a333?b??a?2?a?23，取等时a?3满足条件，即m?23， aaa1?a?b?2?所以M?m?5?23；
2??x?ax?a,x?13、??2,0? f?x???，函数在?0,???单调递增，根据每段二次函数的开口方向，
2??x?ax?a,x?1?a?0??2?a???2,0?； 以及分段函数连续，故可得?a???1??24、
aan?22015nn?2n?1 n?1?2?，累乘可得n?1?2?，结合a1?2可得an?2?n?1?，
ann?1a122013012012?2013，利用乘比错位相减法，可算得 所以a1?a2???a2013?2?2?2?3???22013?2013，结合a2014?22013?2015，故原式? a1?a2???a2013?22015； 20135、
2 如图，在单位正方体中放置该四棱锥，可得面PAC垂直于面ABCD， 4同时MN∥AC，故MN与PC的距离为MN与AC的距离，即N到AC的距离， 设垂足为S，则△NSC为等腰直角三角形，NS?22NC?，即为所求； 246、
26 如图，设长半轴长为a，短半轴长为b，F1F2?2c，则PF2?2c， 73?a?c?，故QF2?1a?3c， 222a?c在?PQF2中，利用等腰?PF1F2算得cosP?，利用余弦定理可得
2cPF1?2a?2c，利用比例算得QF1? 3
全国高中数学联赛2014年A卷一试真题+答案 word版可编辑
