祥子数理化
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3+i
1、1+i=( )
A．1+2i B．1–2i C．2+i D．2–i 2、设集合A={1,2,4}，B={x2–4x+m=0}，若A∩B={1}，则B=( ) A．{1,–3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4、如下左1图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π B．63π C．42π D．36π
开始输入aS=0，K=1K ?6是S=S+a?Ka=-aK=K+1输出S否
2x+3y–3≤0?5、设x、y满足约束条件?2x–3y+3≥0，则z=2x+y的最小值是( )
?y+3≥0A．–15 B．–9 C．1 D．9
6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种
7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行上左2的程序框图，如果输入的a=–1，则输出的S=( ) A．2 B．3 C．4 D．5
x2y2
9、若双曲线C：a2–b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x–2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
23
A．2 B．3 C．2 D．3
10、已知直三棱柱ABC–A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1， 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
315103A．2 B．5 C．5 D．3 11、若x=–2是函数f(x)=(x2+ax–1)ex–1的极值点，则f(x)的极小值为( ) A．–1 B．–2e–3 C．5e–3 D．1
12、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则向量PA·(PB+PC)的最小值是( )
34
A．–2 B．–2 C．–3 D．–1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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13、一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到二等品件数，则DX=_______________________。
3π
14、函数f(x)=sin2x+3cosx–4(x∈[0,2])的最大值是______________。
1?___________。 15、等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则?k?1Sk16、已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|=_______________________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。
B
17、(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin(A+C)=8sin22。 (1)求cosB；
(2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b。
18、(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
频率/组距n频率/组距0.0680.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012025303540455055606570箱产量/kg旧养殖法0.0460.0440.0200.0100.0080.0040
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)。
n(ad–bc)2
2
附： K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)。
3540455055606570箱产量/kg地址：实验中学对面 电话：15114356766
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1
19、(12分)如图，四棱锥P–ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于地面ABCD，AB=BC=2AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点。
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M–AB–D的余弦值。
PMAB
EDC
x22
20、(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2+y=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足向量NP=2NM。
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x=–3上，且向量OP·PQ=1。 证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
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21、(12分)已知函数f(x)=ax2–ax–xlnx，且f(x)≥0。 (1)求a；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e–2< f(x0)<2–2。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。
22、[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4。
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
π
(2)设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值。
23、[选修4–5：不等式选讲](10分)已知a>0，b>0，a3+b3=2。证明： (1)(a+b)(a5+b5)≥4； (2)a+b≤2。
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理科数学 参考答案 一、选择题
1、D 2、C 3、B 4、B 5、A 6、D 7、D 8、B 9、A 10、C 11、A 12、B 二、填空题 13、1.96； 14、1；
2n15、n+1； 16、6； 三、解答题
BBBB1815
17、(1)由A+C=π–B得sinB=8sin22，即cos2=4sin2，∴tan2=4，得tanB=15，则有cosB=17。
8117
(2)由(1)可知sinB=17，则S△ABC=2acsinB=2，得ac=2，
30
又b2=a2+c2–2ac·cosB=(a+c)2–2ac–17ac=4，则b=2。
18、(1)旧养殖法箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62， 新养殖法箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66， 而两种箱产量相互独立，则P(A)=0.62×0.66=0.4092。 (2)由频率分布直方图可得列联表 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 38 旧养殖法 62 66 新养殖法 34 200(62×66–34×38)22则K=100×100×96×104≈15.705>6.635，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 (3)新养殖法箱产量低于50kg的面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5， 产量低于55kg的面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，
0.5–0.34
所以新养殖法箱产量的中位数估计值为(0.34)×5+50≈52.35(kg)。
1119、(1)取PA中点F，连结EF、BF。因为E为PD中点，则EF∥2AD。而由题可知BC∥2AD，则EF∥BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以EC∥FB。又EC?面PAB，FB?面PAB，故CE∥平面PAB。
(2)因为AB⊥AD，则以A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系A–xyz，如图所示。 取AB=1，设向量CM=λCP(0<λ<1)，则得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1,3)，，则CP=(–1,0, 3)，CM=(–λ,0,3λ)，可得点M(1–λ,1,3λ)，所以BM=(–λ,1,3λ)。
3λ226
取底面ABCD的法向量为n=(0,0,1)，则|cos
则cos
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zPFMEDCAxB
y
2x2y2
20、(1)设P(x,y)，则M(x,2y)，将点M代入C中得2+2=1，所以点P的轨迹方程为x2+y2=2。
(2)由题可知F(–1,0)，设Q(–3,t)，P(m,n)，则向量OQ=(–3,t)，PF=(–1–m,–n)，OP=(m,n)，PQ=(–3–m,t–n)。由向量OP·OQ=1得–3m–m2+tn–n2=1，由(1)有m2+n2=2，则有3+3m–tn=0，所以OQ·PF=3+3m–tn=0，即过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
21、(1) f(x)的定义域为(0,+∞)，则f(x)≥0等价于ax–a–lnx≥0。
1111
设g(x)=ax–a–lnx，则g'(x)=a–x。由题可知a>0，则由g'(x)>0解得x>a，所以g(x)为(a,+∞)上的增函数，为(0,a)上的
1
减函数。则有g(x)min=g(a)=1–a+lna=0，解得a=1。 (2)由(1)可知f(x)=x2–x–xlnx，则f'(x)=2x–2–lnx。
1111
设h(x)=2x–2–lnx，则h'(x)=2–x。由h'(x)>0解得x>2，所以h(x)为(2,+∞) 上的增函数，为(0,2)上的减函数。又因为11
h(2)=ln2–1<0，h(1)=0，则h(x)在(0,2)上存在唯一零点x0使得2x0–2–lnx0=0，即2x0–2=lnx0，且f(x)为(0,x0)，(1,+∞)
1
上的增函数，为(x0,1)上的减函数，则f(x)极大值为f(x0)=x0(1–x0)<4。 而e–1∈(0,1)，x0≠e–1，所以f(x0)>f(e–1)=e–2。 综上，e–2< f(x0)<2–2。
4
22、(1)设P极坐标为(ρ,θ)( ρ>0)，M极坐标为(ρ1,θ)( ρ1>0)。则|OP|=ρ，|OM|=ρ1=cosθ。由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0)。所以C2 的直角坐标方程为(x–2)2+y2=4(x≠0)。 (2)设B极标为(ρ2,θ)( ρ2>0)，由题可知|OA|=2，ρ2=4cosα，则有
1ππ3πS△OAB=2|OA|·ρ2·|sin(α–3)|=2|sin(2α–3)–2|≤2+3。即当α=–12时，△OAB面积的最大值为2+3。
23、(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2–2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2–b2)2≥4。
3(a+b)23(a+b)3
33223
(2)因为(a+b)=a+3ab+3ab+b=2+3ab(a+b)≤2+4(a+b)=2+4 ，所以(a+b)3≤8，解得a+b≤2。
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2017年高考理科数学试题全国卷2及解析完美word版
