正弦定理余弦定理综合应用_解三角形经典例题(老师)
一、知识梳理
1．内角和定理：在?ABC中，A?B?C??；sin(A?B)?sinC；cos(A?B)??cosC
面积公式:
S?ABC?111absinC?bcsinA?acsinB222 在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
abc???2RsinAsinBsinC形式一： (解三角形的重要工具)
?a?2RsinA??b?2RsinB?c?2RsinC?形式二：
(边角转化的重要工具)
形式三：a:b:c?sinA:sinB:sinC 形式四：
sinA?abc,sinB?,sinC?2R2R2R
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
222形式一：a?b?c?2bccosA b?c?a?2cacosB c?a?b?2abcosC(解三角形的重要工具)
222222b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2cosA?cosB?cosC?2bc2ac2ab形式二：
二、方法归纳
abc?? (1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及sinAsinBsinC，可求出角C，再求b、c.
222
(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.
(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.
ab? (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinAsinB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求acab??出c，再由sinAsinC求出C，而通过sinAsinB求B时，可能出一解，两解或无解的情况
a=bsinA有一解 b>a>bsinA有两解 a≥b 有一解 a>b有一解
三、课堂精讲例题
问题一：利用正弦定理解三角形
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【例1】在?ABC中，若b?5，?B??152,sinA?，则a? .
343【例2】在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.
【解析】 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=
6?22sin(45??30?)2sin75?bsinC===.
2sin45?sin45?sinB33sin45?asinB= =,
2b2②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=
6?22sin15?2sin(45??30?)bsinC===.
2sin45?sin45?sinB6?26?2或A=120°,C=15°, c=. 22【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA =
3,在(0,?)上显然有两个解。y2?sinx在(0,?)上的值域为（0,1】，
sinx?1在(0,?)只有
【适时导练】
x?
?2一解。
1.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b; （2）△ABC中，B=30°, b=4,c=8,求C、A、a. 【解析】（1）由正弦定理得（2）由正弦定理得sinC=
abasinB8?sin60???.∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b==46. sinAsinBsinAsin45?csinB8sin30??=1.又∵30°＜C＜150°,∴C=90°. b422∴A=180°-(B+C)=60°, a=c?b=43.
问题二：利用余弦定理解三角形
【例3】设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a?1，b?2，cosC?（Ⅰ）求?ABC的周长；（Ⅱ）求cos?A?C?的值.
【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力 【解析】（Ⅰ）∵c?a?b?2abcosC?1?4?4?2221. 41?4 ∴c?2∴?ABC的周长为a?b?c?1?2?2?5. 42（Ⅱ）∵cosC?asinC115?1?2?，∴sinC?1?cosC?1????，∴sinA?c444??2154?15 28?15?72?? ∵a?c，∴A?C,故A为锐角，∴cosA?1?sinA?1???8?8??2 / 13
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∴cos?A?C??cosAcosC?sinAsinC?71151511????. 848416【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos? 令???cos??????cos?cos?msin?sin?????cos2??cos2??sin2? ??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2? tan?????? ?cos2?＝1mtan?tan?21?cos2? ?sin2?＝22tan? tan2??1?tan2?222【例4】（2010重庆文数） 设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b+3c-3a=42bc .
2sin(A?)sin(B?C?)44的值. (Ⅰ) 求sinA的值；(Ⅱ)求
1?cos2A??
【适时导练】
2 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且
cosBb=-.
cosC2a?c（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.
cosBa2?b2?c2ba2?c2?b2【解析】 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.将上式代入=-得:
2ab2accosC2a?c3 / 13
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2abba2?c2?b2a2?c2?b2?ac2221·2整理得: a+c-b=-ac∴cosB== =- 22=-a?b?c2ac2ac2a?c2ac2∵B为三角形的内角，∴B=
2?. 33222222（2）将b=13,a+c=4,B=?代入b=a+c-2accosB,得b=(a+c)-2ac-2accosB
1?3321∴b=16-2ac?. ?1??,∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=
?2?24问题三：正弦定理余弦定理综合应用
【例5】（2011山东文数）在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 （I）求
cosA-2cosC2c-a． =cosBbsinC1的值； （II）若cosB=，?ABC 的周长为5，求b的长。
4sinA【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。
abc2c?a2ksinC?ksinA2sinC?sinA???k,则??, sinAsinBsinCbksinBsinBcosA?2cosC2sinC?sinA所以?.即(cosA?2cosC)sinB?(2sinC?sinA)cosB，
cosBsinBsinC?2. 化简可得sin(A?B)?2sin(B?C).又A?B?C??，所以sinC?2sinA因此
sinAsinC1?2得c?2a.由余弦定得及cosB?得 （II）由
sinA4【解析】（I）由正弦定理，设
b2?a2?c2?2accosB?a2?4a2?4a2??4a2.所以b?2a.又a?b?c?5,从而a?1,因此b=2。 【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”
【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且
2214
sinAcosC?3cosAsinC, 求b
【解题思路】对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2)
22sinAcosC?3cosAsinC,化角化边都可以。
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【解析】解法一：在?ABC中QsinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
a2?b2?c2b2?c2?a2?3gc,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知a2?c2?2b?4b?b2.解得有:ag2ab2bcb?4或b?0(舍）.
解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0. 所以b?2ccosA?2
①
22222又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC
sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC
由正弦定理得sinB?bsinC，故b?4ccosA c ②
由①，②解得b?4.
【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。 【适时导练】
3． 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8 sin2
B?C－2 cos 2A＝7． 2（1）求角A的大小；（2）若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．
AB?CAB?C＝90°－．∴ sin＝cos．
2222B?CA222
由8sin
2－2cos2A＝7，得8cos2－2cos2A＝7．∴ 4(1＋cos A)－2(2 cosA－1)＝7，
解:（1）∵ A＋B＋C＝180°，∴即(2cos A－1)2＝0．∴ cos A＝
1 ∵ 0°＜A＜180°，∴ A＝60°． 2（2）∵ a＝3，A＝60°，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴ 3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝9－3bc． ∴ bc＝2．又b＋c＝3，∴ b＝1，c＝2或b＝2，c＝1． 问题四：三角恒等变形
【例7】（08重庆） 设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：
oa（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值.
ab;【解题思路】求c的值需要消去角和三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系
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