优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：第5章 数列 第3讲知能训练轻松闯关 含答案

1．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N)成等比数列”是“a2n＋1＝anan＋2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

*

解析：选A.显然，n∈N*，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a2n＋1＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，….

a2a3an

2．如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a5等于( )

a1a2an－1

A．32 B．64 C．－32 D．－64

a2a3a4a5anan

解析：选A.易知数列a1，，，，，…，，…的通项为＝(－2)n－1，故a5＝

a1a2a3a4an－1an－1

a2a3a4a5

a1····＝1×(－2)×2×(－22)×4＝32. a1a2a3a4

3．已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log1(a5＋a7＋a9)的值

3

是( ) 1A. 5C．5

1B．－

5D．－5

解析：选D.由1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)，得an＋1＝3an，即数列{an}是公比为3的等比数列．设等比数列{an}的公比为q，又a2＋a4＋a6＝9，则log1(a5＋a7＋a9)＝log1[q3(a2＋a4＋a6)]

3

3

＝log1(33×9)＝－5.

3

bn＋1

4．(2016·莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列

bn

{cn}满足cn＝ban，则c2 016＝( ) A．92 015 B．272 015 C．92 016 D．272 016 解析：选D.由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列， 所以an＝3n，bn＝3n.

又cn＝ban＝33n，所以c2 016＝332 016＝272 016. 5．(2016·开封一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝2n(n∈N*)，则下列数列中一定为等比数列的是( ) A．{an} B．{an－1} C．{an－2} D．{Sn}

×

解析：选C.由Sn＋an＝2n(n∈N*)，①可得Sn－1＋an－1＝2(n－1)(n≥2，n∈N*)，②，①－②

11

得an＝an－1＋1(n≥2，n∈N*)，所以an－2＝(an－1－2)(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，a1－2＝

22－1≠0，所以{an－2}一定是等比数列，故选C.

6．(2016·福州质检)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn，若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝( ) A．512 B．256 C．81 D．16 解析：选A.由题意可知，a3a4a7q＝a3a7a4q＝a3a7a5＝a35＝8，Ⅱ9＝a1a2a3…a9＝

3

(a1a9)·(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5＝a95，所以Ⅱ9＝8＝512.故选A.

7．(2015·高考广东卷)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________．

解析：因为 a，b，c成等比数列， 所以b2＝a·c＝(5＋26)(5－26)＝1. 又b>0，所以b＝1. 答案：1

an＋m

8．(2016·北京海淀区高三检测)已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝

am

an，则a3＝________；{an}的前n项和Sn＝________． an＋m

解析：因为＝an，

am所以an＋m＝an·am，

所以a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8； 令m＝1，则有an＋1＝an·a1＝2an，

所以数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列， 2（1－2n）

所以Sn＝＝2n＋1－2.

1－2答案：8 2n1－2

1

9．(2016·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列，若a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1

4

＝________．

1

解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质知a5＝a2q3，求得q＝，所以a1＝4.a2a3

2

1??1?1111

a1a2＝a1a2，anan＋1＝?an－1??an?＝an－1an(n≥2)．设bn＝anan＋1，可以得出数列＝??2??2?4?2??2?4

1

{bn}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1为数列{bn}的前n

4

1?n???81－4

????32

项和，由等比数列前n项和公式得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．

131－4

32－

答案：(1－4n)

3

10．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________． 解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150. 答案：150

11．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8. (1)求{an}的通项公式；

(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

＋

??a1＋d＝2，

则由已知得?

??a1＋4d＝8，

所以a1＝0，d＝2.

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.

(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得 q＋q2＝a4.

因为a4＝6，所以q＝2或q＝－3. 因为等比数列{bn}的各项均为正数， 所以q＝2.

b1（1－qn）1×（1－2n）

所以{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.

1－q1－2

12．(2016·太原模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，且S4

40＝. 27

(1)求数列{an}的通项公式；

3

(2)求证Sn<.

2解：(1)设等比数列{an}的公比为q. 因为S1，2S2，3S3成等差数列， 所以4S2＝S1＋3S3，

即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)， 所以a2＝3a3，

a31

所以q＝＝.

a2340

又S4＝，

27a1（1－q4）40即＝，

271－q解得a1＝1， 1?

所以an＝??3?

n－1

.

n

(2)证明：由(1)得 Sn＝

?1?n1－a1（1－q）?3?

1－q

＝

1

1－3

3??1?n?3＝1－3<. 2????2

1．设{an}是各项均为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( ) A．{an}是等比数列

B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列

D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同

An＋1an＋1an＋2an＋2A2a3

解析：选D.因为Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，

AnanA1a1anan＋1

A3a4

＝，….所以a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均成等比数列，且公比相A2a2

An＋1an＋2

等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从

Anan而{An}为等比数列．

2．(2016·太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，Sn＝2an＋n(n∈N*)，则an＝________．

解析：因为Sn＝2an＋n①，所以Sn＋1＝2an＋1＋n＋1②，②－①，可得an＋1＝2an－1，即an

＋1－1＝2(an－1)，又因为

a1＝－1，所以数列{an－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，

所以an－1＝(－2)·2n－1＝－2n，所以an＝1－2n. 答案：1－2n

1

3．(2016·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，

2

a5＋S5，a6＋S6成等差数列． (1)求等比数列{an}的通项公式；

(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列， 所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5， 即2a6－3a5＋a4＝0， 所以2q2－3q＋1＝0，

1

因为q≠1，所以q＝，

2

1

所以等比数列{an}的通项公式为an＝n.

2

an＋an＋13?3?n

n

(2)bn＝·3＝?2?，

243?3?n＋1－32?2?Tn＝×

43

1－2n

93

＝??2?－1?. 4????

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q. (1)求an与bn；

(2)设cn＝3bn－λ·2，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．

an

3??q＋3＋a2＝12，

解：(1)由已知可得?

2

??3＋a2＝q，

所以q2＋q－12＝0，

解得q＝3或q＝－4(舍去)，从而a2＝6， 所以an＝3n，bn＝3n－1.

(2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2＝3n－λ·2n. 由题意，cn＋1>cn对任意的n∈N*恒成立，

an

3

即3n＋1－λ·2n＋1>3n－λ·2n恒成立，

3?n?nn

亦即λ·2<2·3恒成立，即λ<2·?2?恒成立．

3?n?由于函数y＝?2?是增函数， 3?n?3??所以2·2＝2×＝3，

2????min故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．