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实验一 控制系统的数学模型
一 实验目的
1、学习用MATLAB创建各种控制系统模型。
2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论
1传递函数描述
(1)连续系统的传递函数模型
C(s)b1sm?b2sm?1?...?bns?bm?1连续系统的传递函数如下： G(s)??nn?1?
对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中
可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。
num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1]
注意：它们都是按s的降幂进行排列的。
tf（）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den)
R(s)a1s?a2s?...?ans?an?1
举例：
12s3?24s2?20G(s)?42s?4s3?6s2?2s?2num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2];
G=tf(num, den) (2)零极点增益模型
? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递
函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。
(s?z1)(s?z2)...(s?zm)G(s)?KK为系统增益，zi为零点，pj为极点 (s?p1)(s?p2)...(s?pn)? 在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： ? z=[z1,z2,…,zm] ? p=[p1,p2,...,pn] ? K=[k]
zpk（）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k)
(3)部分分式展开
? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控
制单元的和的形式。
? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微
分单元的形式。
? 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，
极点返回到列向量p，常数项返回到k。
? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。
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举例： 部分分式展开：
2s3?9s?1G(s)?32s?s?4s?4》num=[2,0,9,1];
》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den) 》r=
0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000 p=
0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000 k= 2 结果表达式
G(s)?2??0.25i0.25i?2??s?2is?2is?12模型的转换与连接
(1)模型的转换
? 在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就
需要进行模型的转换。 ? 模型转换的函数包括：
residue：传递函数模型与部分分式模型互换 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型 连续系统转化为离散系统：
) 相当于在连续系统中加入采样开关，dsys?c2d(sys,T,method其中：dsys表示离散系统；sys表示连续系统；T表示采样时间；method 表示逼近方式；
离散系统转化为连续系统：sys?d2c(dsys)
用法举例： 6(s?3)G(s)?1）系统的零极点增益模型转换为传递函数： (s?1)(s?2)(s?5)》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; 》[num,den]=zp2tf(z,p,k)
》num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10
?0.25i0.25i?22）已知部分分式：
G(s)?2???s?2is?2is?1转换为传递函数
》r=[-0.25i,0.25i,-2];
》p=[2i,-2i,-1];k=2;
》[num,den]=residue(r,p,k) 》num=
2 0 9 1 》den=
1 1 4 4
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注意余式一定要与极点相对应。 (2)模型的连接
a并联：parallel 格式：
[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)
? ％将并联连接的传递函数进行相加。 b串联：series 格式：
[num,den]=series(num1,den1,num2,den2) ％将串联连接的传递函数进行相乘。 c反馈：feedback 格式：
[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)
? ％将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。
sign缺省时，默认为负，即sign= -1，表示负反馈，sign= 1，表示正反馈。 d闭环：cloop（单位反馈） 格式：
[numc,denc]=cloop(num,den,sign)
? ％表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义与上述相同。 三 实验内容
1． 系统的传递函数为：G?s??15?s?3? ?s?1??s?5??s?15?1) 写出零极点模型，并转换为多项式传递函数模型； 2) 写出多项式模型。
2．系统结构图如下所示，求其多项式传递函数模型 3．系统结构图如下所示，求其多项式传递函数模型 u(t)
4．系统结构图如下所示，求其多项式传递函数模型 u(t) u(t) 5.假设连续系统的数学模型为G(s)?y(t) y(t) y(t) 1?2s，选择采样周期为T=0.1秒，用Matlabe3(s?2)产生下列系统的传递函数.（注：延迟用ioDelay，如系统G的延迟为2，那么代码为：G.ioDelay=2;） 四 实验报告要求
（1） 完成上述各题
（2） 记录与显示给定系统数学模型
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