立体几何的动态问题
立体几何的动态问题，主要有五种：动点问题、翻折问题、旋转问题、投影与截面问题以及轨 迹问题。基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等。解题时一般可以通过改变视角、平面化或者寻找变化过程中的不变因素而把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中，若能再配以沉着冷静的心态去计算，那么相信绝大多数问题可以迎刃而解。
动点轨迹问题
空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面（圆锥，圆柱侧面，球面）交线得圆，圆锥曲线。很少有题目会脱离这三个方向。（注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义）
1．（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支
π
式题 如图，平面α的斜线AB交α于B点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点C满足∠BAC＝，若动
6点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________．
3．（2015春?龙泉驿区校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：
①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线； ②若点P到点A的距离为
，则动点P的轨迹所在的曲线是圆；
③若P满足∠MAP＝∠MAC1，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆；
④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线． 其中真命题的个数为（ ）
A．4
1
B．3 C．2 D．1
4．（2018?温州模拟）已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹（ ）
A．是圆 B．是椭圆
C．是抛物线 D．不是平面图形
5．（2013?铁岭模拟）如图所示，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，
AD＝4，BC＝8，AB＝6．若tan∠ADP﹣2tan∠BCP＝1，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分 B．线段
C．双曲线的一部分 D．以上都不是
6．（2013?嘉兴二模）设m是平面α内的一条定直线，P是平面α外的一个定点，动直线n经过点P且与m成30°角，则直线n与平面α的交点Q的轨迹是（ ） A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
7．（2008?浙江）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆
C．一条直线 D．两条平行直线
8．（2015春?台州校级月考）AB是平面α的斜线段，长度为2，点A是斜足，若点P在平面α内运动，当△ABP的面积等于3 时，点P的轨迹是（ ） A．圆
2
B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
9．（2016?浙江二模）在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（ ） A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
10．（2016?武汉校级模拟）如图，AB是平面α外的固定斜线段，B为斜足，若点C在平面α内运动，且∠CAB等于直线AB与平面α所成的角，则动点C的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
11．（2008年浙江·理10）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 （ ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线
12.（2014年金华高二十校联考·文10）圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，M为正方形ABCD对角线的交点，动点P在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM与直线MP所成角为45°，则点P形成的轨迹为 ( ) A．椭圆的一部分
B．抛物线的一部分
D M A B C
BAPC．双曲线的一部分 D. 圆的一部分
P 13．（2014?杭州二模）在等腰梯形ABCD中，E，F分别是底边AB，BC的中点，把四边形AEFD沿直线EF折起后所在的平面记为α，p∈α，设PB，PC与α所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为零）．若θ1＝θ2，则满足条件的P所形成的轨迹是 ．
3
14．（2018秋?诸暨市校级期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE＝2BF，则线段EF中点的轨迹是（ ）
A．一条线段 B．一段圆弧
C．抛物线的一部分 D．一个平行四边形
15．（2015秋?太原期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱A1B1的中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，给出下列结论：
①若BQ⊥A1C，则动点Q的轨迹是线段； ②若|BQ|＝
，则动点Q的轨迹是圆的一部分；
③若∠QBD1＝∠PBD1，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分；
④若点Q到AB与DD1的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线的一部分． 其中结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
16．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝BC＝
，AA，上底面A′B′C′D′的中心为O′，当点E在线段CC′上从C移动到C′时，点O′在平面BDE上的射影G的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2016秋?温州期末）点P为棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（ ）
4
A． B． C． D．
18．（2018?宁波二模）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BB1C1C中心，F在棱AD上运动，正方体表面上有一点P满足
＝x（x≥0，y≥0），则所有满足条件的P点构成图形的面积为 ．
19．（2017?定海区校级模拟）已知异面直线a，b所成角为60°，直线AB与a，b均垂直，且垂足分别是点A，B若动点P∈a，Q∈b，|PA|+|QB|＝m，则线段PQ中点M的轨迹围成的区域的面积是 ．
20．（2017秋?赣州期末）如图，在等腰梯形ABCD中，CD＝2AB＝2EF＝2a，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得平面BEFC⊥平面ADFE．若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0）．若θ1＝θ2，则动点P的轨迹围成的图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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