故an?3??n?1??4?n．……………………………………………（5分）
n?1（Ⅱ）由（Ⅰ）得解答可得，bn?ngq，于是 012n?1 Sn?1gq?2gq?3gq?L?ngq．
若q?1，将上式两边同乘以q有qSn?1gq1?2gq2?L??n?1?gqn?1?ngqn． 两式相减得到
?q?1?Sn?ngqn?1?q1?q2?L?qn?1
qn?1 ?nq?
q?1nnqn?1??n?1?qn?1 ?．
q?1于是Sn?nqn?1??n?1?qn?1?q?1?2．
若q?1，则Sn?1?2?3?L?n?n?n?1?． 2?n?n?1?,?q?1?,?2?所以，Sn??n?1…………………………………（12分）
nq??n?1?qn?1?,?q?1?.2??q?1??
（21）（本小题满分12分）
已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
【命题意图】本题主要考查轨迹方程的求解、直线与双曲线的位置关系，考查解析几何的思
12想方法及推理运算能力. 解：（Ⅰ）设P(x,y)，则
(x?2)2?y2?2x?1， 2y2?1(y?0)．……………………………………………………（4分） 化简得x?32（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y?k(x?2)(k?0)．
y2?1联立消去y得 与双曲线方程x?32(3?k2)x2?4k2x?(4k2?3)?0．
由题意知，3?k?0且?＞0．
24k24k2?3设B(x1,y1),C(x2,y2)，则x1?x2?2，x1x2?2，
k?3k?3y1y2?k2(x1?2)(x2?2)?k2[x1x2?2(x1?x2)?4]
4k2?38k2??4) ?k(2k?3k2?32?9k2 ?2．
k?3因为x1,x2??1， 所以直线AB的方程为y?y13y11(x?1)，因此M点的坐标为(,)， x1?122(x1?1)uuuur3y13FM?(?,)．
22(x1?1)uuur33y2)． 同理可得FN?(?,22x2?1uuuuruuur9y1y233因此FMgFN?(?)?(?)?
224?x1?1??x2?1??8k29k2?3 ?? 224?4k?34k?4?2?2?1??k?3k?3? ?0．
②当直线BC与x轴垂直时，其方程x?2，则B?2,3?，C?2,?3?．
r33?13?uuuuAB的方程为y?x?1，因此M点的坐标?,?，FM?(?,)．
22?22?uuur33同理可得FN?(?,?)．
22uuuuruuur3333因此FMgFN?(?)?(?)?(?)??0．
2222uuuuruuur综上，FMgFN?0，即FM?FN．
（22）（本小题满分14分）
1?ax设f(x)?（a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数. x1?a（Ⅰ）求g(x)；
（Ⅱ）当x?[2,6]时，恒有g(x)?logat成立，求t的取值范围；
(x2?1)(7?x)1
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n?4的大小，并说明理由.
2
【命题意图】本题主要考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想，以及推理论证与分析问题、解决问题的能力. 解：（Ⅰ）由题意得，a?xy?1， y?1故g(x)?logax?1，x?(??,?1)U(1,??)．…………………………………………（3分） x?1x?1t＞loga2得 x?1(x?1)(7?x)（Ⅱ）由g(x)?loga①当a＞1时，
x?1t＞2＞0． x?1?x?1??7?x?2又因为x??2,6?，所以0＜t＜?x?1?令h?x???x?1?2?7?x?．
?7?x???x3?9x2?15x?7,x??2,6?，
则h??x???3x2?18x?15??3?x?1??x?5?． 列表如下： x 2 5 ?2,5? + ↗ 5 0 极大值32 ?5,6? ? ↘ 6 25 h??x? h?x? 所以h?x?最小值?5， 所以0＜t＜5． ②当0＜a＜1时，0＜x?1t， ＜2x?1?x?1??7?x?2又因为x??2,6?，所以t＞?x?1?令h?x???x?1?2?7?x?＞0．
?7?x?,x??2,6?，
由①知h?x?最大值?32，
所以t＞32．
综上，当a＞1时，0＜t＜5；当0＜a＜1时，t＞32．………………………………（9分） （Ⅲ）设a?1，则p?1． 1?p2?3＜5． p当n?1时，f?1??1?当n?2时，
设k?2，k?N时，
?1?ak22?1??1?则f?k??． k122kk1?akCp?Cp?L?Cp?1?p??1kkk所以f?k??1?2244?1??1??． 1Ck?Ck2k?k?1?kk?1从而f?2??f?3??L?f?n??n?1?44?＜n?1． 2n?1所以f?1??f?2??L?f?n?＜f?1??n?1?n?4．
综上f?1??f?2??L?f?n?＜n?4．…………………………（14分）
【点评】最后一题总体上来说是一道难题，但难中也有简单部分，因此一定要尽力去做，第（Ⅰ）问是简单题，第（Ⅱ）问有点难度，虽然涉及到了讨论，但考查的内容是我们熟悉的恒成立问题，需要分离参数然后转化成求最值来解决，所以也不陌生；第（Ⅲ）是难题，用到了放缩法，然后裂项相消求和，不易想到，这一问基本是为极少人准备的.
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题（四川卷）真题精品解析
