故an?3??n?1??4?n.……………………………………………(5分)
n?1(Ⅱ)由(Ⅰ)得解答可得,bn?ngq,于是 012n?1 Sn?1gq?2gq?3gq?L?ngq.
若q?1,将上式两边同乘以q有qSn?1gq1?2gq2?L??n?1?gqn?1?ngqn. 两式相减得到
?q?1?Sn?ngqn?1?q1?q2?L?qn?1
qn?1 ?nq?
q?1nnqn?1??n?1?qn?1 ?.
q?1于是Sn?nqn?1??n?1?qn?1?q?1?2.
若q?1,则Sn?1?2?3?L?n?n?n?1?. 2?n?n?1?,?q?1?,?2?所以,Sn??n?1…………………………………(12分)
nq??n?1?qn?1?,?q?1?.2??q?1??
(21)(本小题满分12分)
已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N (Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
【命题意图】本题主要考查轨迹方程的求解、直线与双曲线的位置关系,考查解析几何的思
12想方法及推理运算能力. 解:(Ⅰ)设P(x,y),则
(x?2)2?y2?2x?1, 2y2?1(y?0).……………………………………………………(4分) 化简得x?32(Ⅱ)①当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y?k(x?2)(k?0).
y2?1联立消去y得 与双曲线方程x?32(3?k2)x2?4k2x?(4k2?3)?0.
由题意知,3?k?0且?>0.
24k24k2?3设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1?x2?2,x1x2?2,
k?3k?3y1y2?k2(x1?2)(x2?2)?k2[x1x2?2(x1?x2)?4]
4k2?38k2??4) ?k(2k?3k2?32?9k2 ?2.
k?3因为x1,x2??1, 所以直线AB的方程为y?y13y11(x?1),因此M点的坐标为(,), x1?122(x1?1)uuuur3y13FM?(?,).
22(x1?1)uuur33y2). 同理可得FN?(?,22x2?1uuuuruuur9y1y233因此FMgFN?(?)?(?)?
224?x1?1??x2?1??8k29k2?3 ?? 224?4k?34k?4?2?2?1??k?3k?3? ?0.
②当直线BC与x轴垂直时,其方程x?2,则B?2,3?,C?2,?3?.
r33?13?uuuuAB的方程为y?x?1,因此M点的坐标?,?,FM?(?,).
22?22?uuur33同理可得FN?(?,?).
22uuuuruuur3333因此FMgFN?(?)?(?)?(?)??0.
2222uuuuruuur综上,FMgFN?0,即FM?FN.
(22)(本小题满分14分)
1?ax设f(x)?(a?0且a?1),g(x)是f(x)的反函数. x1?a(Ⅰ)求g(x);
(Ⅱ)当x?[2,6]时,恒有g(x)?logat成立,求t的取值范围;
(x2?1)(7?x)1
(Ⅲ)当0<a≤时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n?4的大小,并说明理由.
2
【命题意图】本题主要考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识,考查化归、分类整合等数学思想,以及推理论证与分析问题、解决问题的能力. 解:(Ⅰ)由题意得,a?xy?1, y?1故g(x)?logax?1,x?(??,?1)U(1,??).…………………………………………(3分) x?1x?1t>loga2得 x?1(x?1)(7?x)(Ⅱ)由g(x)?loga①当a>1时,
x?1t>2>0. x?1?x?1??7?x?2又因为x??2,6?,所以0<t<?x?1?令h?x???x?1?2?7?x?.
?7?x???x3?9x2?15x?7,x??2,6?,
则h??x???3x2?18x?15??3?x?1??x?5?. 列表如下: x 2 5 ?2,5? + ↗ 5 0 极大值32 ?5,6? ? ↘ 6 25 h??x? h?x? 所以h?x?最小值?5, 所以0<t<5. ②当0<a<1时,0<x?1t, <2x?1?x?1??7?x?2又因为x??2,6?,所以t>?x?1?令h?x???x?1?2?7?x?>0.
?7?x?,x??2,6?,
由①知h?x?最大值?32,
所以t>32.
综上,当a>1时,0<t<5;当0<a<1时,t>32.………………………………(9分) (Ⅲ)设a?1,则p?1. 1?p2?3<5. p当n?1时,f?1??1?当n?2时,
设k?2,k?N时,
?1?ak22?1??1?则f?k??. k122kk1?akCp?Cp?L?Cp?1?p??1kkk所以f?k??1?2244?1??1??. 1Ck?Ck2k?k?1?kk?1从而f?2??f?3??L?f?n??n?1?44?<n?1. 2n?1所以f?1??f?2??L?f?n?<f?1??n?1?n?4.
综上f?1??f?2??L?f?n?<n?4.…………………………(14分)
【点评】最后一题总体上来说是一道难题,但难中也有简单部分,因此一定要尽力去做,第(Ⅰ)问是简单题,第(Ⅱ)问有点难度,虽然涉及到了讨论,但考查的内容是我们熟悉的恒成立问题,需要分离参数然后转化成求最值来解决,所以也不陌生;第(Ⅲ)是难题,用到了放缩法,然后裂项相消求和,不易想到,这一问基本是为极少人准备的.
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(四川卷)真题精品解析
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