高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意
义学案含解析新人教A版必修40904138
考试标准
课标要点 向量的数乘运算 向量数乘运算的几何意义 知识导图
学考要求 c b 高考要求 c b 学法指导
1.与实数乘法的运算律类似，向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量数乘的
运算律时，要注重其几何意义．
2．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础．
3．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行，注意区别向量平行与直线平行．
4．学习了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.
1.向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
- 1 -
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反． (3)当λ＝0时，λa＝0.
状元随笔 理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
→→
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋a，λ－a均没有意义． 2．数乘向量的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb. 3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用
→→→→→→→
(1)定理中a≠ 0 不能漏掉. 若a＝b＝ 0 ，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b→→→≠ 0 ，则不存在实数λ，使得b＝λa.
→→→
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝ 0 ，→→→→→→→
则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝ 0 ，则必有t＝s＝0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量．( ) (2)对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反．( ) (3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( ) (4)若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( ) A．a与b方向相同 B．a与b方向相反 C．|a|＝|3b| D．|a|＝|b|
- 1 -
解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B. 答案：B
1?1
3．化简：?2a＋8b3?2A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b
11
解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，选B.
33答案：B
4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( ) A．4e2 B．4e1 C．3e1＋6e2 D．8e2
解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2. 答案：D
－4a－2b??＝( )
?
类型一 向量的线性运算 例1 (1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)．
?1??2?(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求?a－b?－?a－b?＋(2b－a)．
?3??3?
【解析】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
2?12555?1??(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝?－1－1?a＋?－1＋＋2?b＝－a＋b＝－(3i＋2j)
3?33333?3??10?55??105?＋(2i－j)＝?－5＋?i＋?－－?j＝－i－5j.
3?33??33?
状元随笔 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提
取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．
方法归纳
向量线性运算的基本方法
- 1 -
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 化简： 1?(1)?2?2?(2)?3?
3a＋2b4a－3b?1???13?－?a＋b??－2?a＋b?； ?2???28?
11
＋b－6a－7b??. 34?
3?1?333
解析：(1)原式＝?2a＋b?－a－b＝a＋b－a－b＝0.
2?2?444
137?2311?5112?172?5
(2)原式＝?4a－3b＋b－a＋b?＝4－a＋－3＋＋b＝?a－b?＝a－b.
324?323?343?212?318先由运算律去括号，再进行数乘运算．
类型二 向量共线条件的应用 例2 已知非零向量e1，e2不共线．
→→→
(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
→→→→→
【解析】 (1)证明：因为AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB. →→
所以AB，BD共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线． (2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于e1与e2不共线，
??k－λ＝0，只能有?
?λk－1＝0，?
所以k＝±1.
→→
(1)欲证三点A，B，D共线，即证存在实数λ，使AB＝λBD，只要由已知条件求出λ即可．
→→→→→→
(2)由两向量共线，列出关于e1、e2的等式，再由e1与e2不共线知，若λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.
- 1 -
方法归纳
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
→
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB＝
λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重
要方法．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9 B．－4 C．4 D．9
→→→
(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量AB＝a－kb，CB＝2a＋b，CD＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10 B．－10 C．2 D．－2
解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
??6m＋3＝0，
由于e1，e2不共线，所以?
?2－mλ＝0，?
→→→→→
所以λ＝－4.
→→→→
(2)因为A，B，D三点共线，所以AB＝λBD＝λ(CD－CB)，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.
答案：(1)B (2)C
→→→→
(1)由a，b共线，得a＝mb，建立等式求λ. →→
(2)A、B、D三点共线，设AB＝λBD，建立等式求k .
类型三 用已知向量表示其他向量
- 1 -
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案含解析新人教A版必修40904138
