第十节 变化率与导数、导数的运算
授课提示：对应学生用书第37页
[基础梳理]
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝
ΔyΔx为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝(2)导数的几何意义
ΔyΔx＝．
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．
f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos__x f′(x)＝－sin__x f′(x)＝axln__a f′(x)＝ex f′(x)＝ xln a1f′(x)＝ 1x?f（x）?f′（x）g（x）－f（x）g′（x）?′＝(3)?(g(x)≠0)． 2g（x）[g（x）]??
1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件，
要注意这一点，如(xn)′＝nxn－1中，n≠0且n∈Q*.
?f（x）?f′（x）·g（x）－f（x）·g′（x）
??′＝，g（x）g2（x）??
要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．
2．(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. (2)f′(x)是一个函数，与f′(x0)不同．
3．(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
[四基自测]
1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于( ) A．0 C．2e 答案：C
2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·ln x，则f′(x)＝( ) A.
B．e D．e2
mxx B．x＋1 D．ln x＋1
1
C.＋x
x答案：D
3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为( ) A．不存在 C．y＝0 答案：C
4．(易错点：求切点)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________． 答案：e
授课提示：对应学生用书第38页
考点一 导数的计算
挖掘1 求导函数值/ 自主练透
[例1] (1)设函数f(x)＝1－ex的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f′(x0)＝________． [解析] 令1－ex0＝0，∴x0＝0， 而f′(x)＝－ex，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1. [答案] －1
(2)若函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________． 1
[解析] ∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
B．x＝0 D．y＝x
x∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. [答案] 8
?π??π?
(3)若f(x)＝sin?x＋?，则f′??＝________．
?3??3?
?π?
[解析] ∵f(x)＝sin?x＋?，
?3??π?
∴f′(x)＝cos?x＋?，
?3?
?π??ππ?1∴f′??＝cos?＋?＝－. 2?3??33?
1
[答案] －
2
挖掘2 已知导数值求自变量/ 互动探究
[例2] (1)已知函数f(x)＝x(2 020＋ln x)且f′(x0)＝2 021，则x0＝( ) A．e2 C．ln 2
B．1 D．e
[解析] ∵f(x)＝x(2 020＋ln x)＝2 020x＋xln x， 1
∴f′(x)＝2 020＋ln x＋x·＝2 021＋ln x，
x又f′(x0)＝2 021，∴ln x0＝0，∴x0＝1. [答案] B
(2)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，若f′(x0)＝0，则x0＝________． [解析] ∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 1
∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋，
x∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1. ∴f′(x0)＝－2＋，
1
x0
11
∴－2＋＝0，∴x0＝. x02[答案]
1 2
[破题技法] 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文北师大版
