专题检测（十四）
一、选择题
点、直线、平面之间的位置关系
E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线
1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：EF和GH不相交，则甲是乙成立的
A．必要不充分条件C．充要条件解析：选B
(
)
B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF
和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如件．
2．已知m，n是两条不同的直线，
EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要条
α，β是两个不同的平面，给出四个命题：
①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确的命题是A．①②C．①④解析：选B
(
)
B．②③D．②④
两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情
当两个平面与两条互相垂直的
分别与两
况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，个平面平行的直线也平行，故④不正确．
3．如图，在三棱锥
P-ABC中，不能证明
故③正确；当两个平面相交时，
AP⊥BC的条件是()
A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：选B
A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC
BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以
?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面
BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出
AP⊥BC，故选B.
a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：
4．已知α，β表示两个不同平面，
①若b?α，a?α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件；②若a?α，b?α，则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件．
判断正确的是(A．①②都是真命题
)
B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题解析：选B
若b?α，a?α，a∥b，则由线面平行的判定定理可得
a∥α，反过来，若
b?α，a?α，a∥α，则a，b可能平行或异面，则必要条件，①是真命题；若
b?α，a?α，“a∥b”是“a∥α”的充分不
a∥β，b∥β，反
a?α，b?α，α∥β，则由面面平行的性质可得
过来，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，则α，β可能平行或相交，则是“a∥β，b∥β”的充分不必要条件，②是假命题，选项
a?α，b?α，则“α∥β”
B正确．
ABCD4个结
5．(2017·惠州三调)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确的有(A．1个C．3个解析：选BPD的中点，所以
将展开图还原为几何体
)
B．2个D．4个
(如图)，因为E，F分别为PA，
EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为
B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面
PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选
AB⊥CD的是(
B. )
6．在下列四个正方体中，能得出异面直线
解析：选A对于A，作出过AB的平面ABE，如图①，可得直线CD与平面ABE垂直，
AB⊥CD成立，故A正确；对于B，作出过AB的等边三角形
60°，故B不成立；对于
ABE，
根据线面垂直的性质知，
如图②，将CD平移至AE，可得CD与AB所成的角等于将CD平移至经过点
C、D，
B的侧棱处，可得AB，CD所成的角都是锐角，故C和D均不成立．故
选A.
二、填空题
7．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点．则直线
DP与平面ABC的位置关系是________．
解析：连接CQ，在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以11
PQ綊EB.又DC綊EB，所以PQ綊DC，所以四边形
22
DPQC为平行四
边形，所以DP∥CQ.又DP?平面ABC，CQ?平面ABC，所以DP∥平面ABC.
答案：平行
8．如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D-AEF体积的最大值为________．
解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D-AEF的高．因为AE为等腰直角三角形
2
2
ABD斜边上的高，
11a＋b121所以AE＝2，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤·＝×＝，所以三棱
222222112
锥D-AEF的体积V≤××2＝(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．
326
2
答案：
6
9．如图，直三棱柱ABC
-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB
＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1
⊥DF.
由已知可以得
A1B1＝
2，
1
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
2又2×2＝h2＋
2
2，
2
所以h＝
233
，DE＝. 33
22
－2
x＋
2
在Rt△DB1E中，B1E＝
6×6
632＝.
63
由面积相等得
2122
＝x，得x＝.
222
1
即线段B1F的长为.
21
答案：
2三、解答题
10．(2017·江苏高考)如图，在三棱锥
A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥
BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC. 又因为AC?平面ABC，所以AD⊥AC.
11．(2017·安徽名校阶段性测试圆O所在平面相交于
)如图所示，正方形ABCD所在平面与
CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平
面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE＝3，圆O的直径CE＝9.
(1)求证：平面ABE⊥平面ADE；(2)求五面体ABCDE的体积．
解：(1)证明：∵AE垂直于圆O所在平面，CD?圆O所在平面，∴AE⊥CD.
又CD⊥DE，AE∩DE＝E，AE?平面ADE，DE?平面ADE，∴CD⊥平面ADE.
在正方形ABCD中，CD∥AB，∴AB⊥平面ADE. 又AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面ADE.
(2)连接AC，BD，设正方形ABCD的边长为a，则AC＝2a，又AC＝CE＋AE＝90，∴a＝35，DE＝6，1
∴VB-ADE＝BA·S△ADE
3
11
＝×35××3×6＝95. 32又AB∥CD，CD?平面CDE，∴点B到平面CDE的距离等于点
A到平面CDE的距离，即AE，
2
2
2
111∴VB-CDE＝AE·S△CDE＝×3××35×6＝95，
332故VABCDE＝VB-CDE＋VB-ADE＝185. 12．(2017·郑州第二次质量预测1.现将△AMD沿MD折起，使平面
1
)如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝
3AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC.
(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?
B到平面MPC的距离．
(2)当点P为AB边的中点时，求点
1
解：(1)当AP＝AB时，有AD∥平面MPC.
3理由如下：
连接BD交MC于点N，连接NP.
DNDC1
在梯形MBCD中，DC∥MB，＝＝，
NBMB2AP1
在△ADB中，＝，∴AD∥PN.
PB2∵AD?平面MPC，PN?平面MPC，∴AD∥平面MPC.
(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，AM⊥DM，∴AM⊥平
2024年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(十四)点、直线、平面之间的位置关系Word版含解析
