专题30圆锥曲线中的最值问题
【考情分析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成 为高考命题者青睐的一个热点。
江苏高考试题结构平稳，题量均匀?每份试卷解析几何基本上是
1道小题和1道大题，平均分
值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多，分值仅占总 分的13%但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值 问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说：他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新 课程卷解析几何试题时，就很有启发性?比如
2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传
统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的 方法求解.再比如 2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线 段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实 际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发 展 【备考策略】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
(1) 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
(2) 不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不 等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围；
(3) 函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个 函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
(4) 利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； 【激活思维】
2 2
1. 已知双曲线 务-每=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲
a2 b2
2 2
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
y[2, ?：：)
2. P是双曲线 —- 1的右支上一点， M N分别是圆(x + 5)2+ y2= 4和(x — 5)2+ y2= 1上
9 16
的点，贝U |PM| —|PN|的最大值为 乙
3. 抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 一 4.
2
4
2
已知抛物线 y2=4x,过点F(4,0)的直线与抛物 线相交于 A(X1,y\2,y 2)两点，贝U
y^+y?2 的最小值是 32 . 5. 已知点M-2 , 0), N2,0)，动点P满足条件| FM |-|PN |=2、.2.记动点F的轨迹为W
(I)求W的方程； _1
(n)若A, B是W上的不同两点，O是坐标原点，求 OA OB的最小值. 解：(I)依题意，点 P的轨迹是以 M N为焦点的双曲线的右支，
2 2
所求方程为：———=1
(x 0)
2 2
(n)当直线 AB的斜率不存在时，设直线 AB的方程为斗x= xo, 此时 A (xo,?林0 —2 ), B (X0, — 丿 X。一 2 ), (A(B' = 2
当直线AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为y= kx + b,
2 2
代入双曲线方程 ———=1中，得：(1 — k2)x2— 2kbx— b2— 2= 0
2 2
依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设
A(xi,yi), B(X2, y2)，则
△ =4k2b2 _4(1_k2).(_b2 _2) K0
x-2kb
i x2 1 -k 2 0 解得1 k1 1,
Xb2 +2 门 1X2 >0 J T 上 一1
又 OA OB = X1X2+ y1y2= X1X2 +( kx1+ b) (kx2+ b)
2 2
=(1 + k ) X1X2+ kb (X1 + X2)+ b 2k2+ 2 =
k2—1
综上可知 OA OB的最小值为2
求抛物线y=-x2上的点到直线 4x，3y-8=0距离的最小值？
2
分析一：设抛物线上任一点坐标为
P( X0，-
x°
)，
2
3(
2)^20|4X0-3X0-8| 3(X0
3) 3由点到直线的距离公式得 P到直线的距离d( x0 )=
-
X0
3 3
5
X4 0
= 3时，心0)取得最大值
5 3
2
分析二：设抛物线上点 P(x0,- X。)到直线4x+3y-8=0距离最小,
则过 P且与抛物线相切的直线与
4x+3y-8=0 平行，
/
4 ■
2 ?2
4、
(
X0 )=-2 X0 =-，…X0 ),
3 =，…P(，3 -
3
9
此时
14 _ 3 (— _) - 8 |
d= 3
9 =
4
5
3 ,.
分析三：设直线方程为2
2
4x+3y+C=0 y
= _x
4
得 4x-3x 2 +C=Q ???△ =16+12C=0, /. c=-,此时
gx +3y
-0 3
+C
4
1 -8 (
二)I
d= --------------
5
> —4
— ?
3
【典型示例】
【分类解析】
x y 25
2 2
例1:已知椭圆 —+— =1 , A (4, 0), B (2, 2)是椭圆内的两点， P是椭圆上任一点，求：(1)
9
求| PA | ? | PB |的最小值和最大值 PQL右准线于点 Q
亠5
求一| PA| | PB|的最小值；(2)
4
分析：(1) A为椭圆的右焦点。作
则由椭圆的第二定义
4 e =—, |PQ|
5
??? 5|PA| |PB|=| PQ| ■ | PB |, 4
显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小
17
- 。
4
(2)由椭圆的第一定义，设 C为椭圆的左焦点，
则 | PA| = 2a_| PC 丨二 | PA| ? | PB |=| PA |= 2a -1 PC | = 10 (| PB^| PC |), 根据三角形中两边之差小于第三边，当
P运动到与B C成一条直线时，便可取得最大和最小值。
当 P到 P\位置时,| PB| - | PC |=| BC | , |PA | 10 ；
| PB|有最大值,最大值为 10 | BC |=10 2.,
当P至U P'位置时，| P B |- | P C| - |B，C |PA | | PB |有最小值，最小值为
10-| BC | = 10 -2 .10.
(数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合)
变式：
点A ( 3, 2)为定点，点 F是抛物线y2=4x的焦点，点 在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF| 取得最小值，求点 P的坐标。
解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
设P到准线的距离为 d,则|PA|+|PF| =| PA+ do
要使|PA|+|PF|取得最小值，由图 3可知过A点 的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2 代入 y2=4x, 得 P (1, 2)o
例2:已知椭圆的中心在 经过点F,求椭圆的离心率
O,右焦点为F,右准线为L,若在 e的取值范围？
OM的垂直
L上存在点M,使线段OM的垂直平分线
解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段 平分线经过点F,则MF
=OF -C,利用平面几何折线段大于或等于直线段
—, 2
仲心到准线之间的距
离)，则有 2 c > — e >
c
???椭圆的离心率e的取值范围椭圆的离心率 e的取值范围为一 ] I2 '丿
x y
变式1:已知双曲线 —
2 2
a b
2 =1,(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,
且| PF|=4| PR|,求此双曲线的离心率 e的最大值？
5
解：双曲线的离心率 e的最大值为-
3
2 2
变式2：已知椭圆方程为 冷 与=1, ( 0 ：：： a ：：： b)的左、右焦点分别为 F1、F2,点P在为椭圆
a2 b2
上的任意一点，且| PF|=4| PF2|,求此椭圆的离心率 e的最小值？
3
解：椭圆的离心率 e的最小值为一
5
例3:已知P点在圆x2+(y-2) 2=1上移动，Q点在椭圆
x
2
y2二1上移动，试求|PQ|的最大
解：故先让 Q点在椭圆上固定，显然当 PQ通过圆心 值。 只要求| OQ的最大值.设Qx, y)，则| OQ 2= x2+(y-4) 2 因Q在9
O时|PQ最大，因此要求|PQ的最大值,
椭圆上，则x2=9(1- y2) ②
将②代入①得 | OQ2= 9(1- y2)+( y-4) 2
(1 2 =一y81 y
2
27 OQ max
1
因为Q在椭圆上移动，所以-1$_1，故当y二一时，
2
此时PQ 【点晴】2.
max
=3 3 1
1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方
法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数 等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视 。
2
变式1：设P是椭圆% + y2= 1 (a>1) 短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，
a
求| PQ|的最大值.
解法1:依题意可设
P (0, 1 ),
Q( x , y ),则| PQ| =
.,x2 (y-1)2 ?
2
又因为Q在椭圆上， 所以 x = a (1
|PQ I2
=(1
a (1 -y ) +
2 2 2
y - 2y
-a2) y2 - 2y + 1 +
微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)解答
