浙江专用2021年新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

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第七章 不等式

知识点 不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 最新考纲 了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 基本不等式 ab≤a＋b2(a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)及其应用. 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，绝对值不等式 |x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 第1讲 不等关系与不等式

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a

2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；

(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc，

a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0?a＞b(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0?

nnnna＞b(n∈N，n≥2)．

3．不等式的一些常用性质 (1)有关倒数的性质 11

①a>b，ab>0?<. ab最新Word

11

②a<0

ab③a>b>0，0. 111

④0

abcdbxa(2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①<②>

bb＋mbb－m；>(b－m>0)． aa＋maa－maa＋maa－m；<(b－m>0)． bb＋mbb－m

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( )

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )

(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]

1．(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a－b>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.a－b>0?a>b?a>b?a>b， 但由a－b>0?/ a－b>0. 2．(必修5P75A组T2改编)

1

1

______(填“>”“<”或“＝”)． 5－26－51

2

2

2

2

2

2

ab解析：分母有理化有

1

＝5＋2，＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以5－26－5

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15－2

<16－5

. 答案：<

122

3．(必修5P75B组T1改编)若0

2大排列为________．

12

解析：令a＝，b＝，

33124

则2ab＝2××＝，

339

a2＋b2＝＋＝，

1522

故a<2ab<<＝a＋b

29122

答案：a<2ab<

2[易错纠偏]

(1)乱用不等式的相乘性致错； (2)命题的必要性出错；

(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．

1．若a>b>0，c0 C.> 解析：选D.因为cac， 又因为cd>0，所以>

194599

abcdabdcB.－<0 D.<

abcdabdcbdacba，即>. cdcdcd2．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．

解析：若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a1

＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a2＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．

答案：充分不必要

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ππ

3．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．

22ππππ

解析：由－<α<，－<－β<，α<β，

2222得－π<α－β<0. 答案：(－π，0)

用不等式(组)表示不等关系

某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，

在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．

x＋2y≤400，

??2x＋y≤500，

【解】 设甲、乙两种产品的月产量分别为x，y，则由题意可知? x≥0，x∈N，??y≥0，y∈N.

用不等式(组)表示不等关系

(1)分析题中有哪些未知量．

(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x或x，y，再用x或x，y来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．

[提醒] 在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．

某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元

的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．

解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 40x＋90y≤1 000，4x＋9y≤100，

???x≥5，?x≥5，则?即?

y≥6，y≥6，???x，y∈N.?x，y∈N.

*

*

不等式的性质及应用(高频考点)

不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选

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择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：

(1)判断命题的真假；

(2)与充要条件相结合命题的判断； (3)求代数式的取值范围． 角度一 判断命题的真假

(1)设a，b，c∈R，且a>b，则( ) A．ac>bc C．a>b

(2)下列命题中，正确的是( ) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b C．若2<2，则a

D．若a>b，c>d，则a－c>b－d

【解析】 (1)A项，c≤0时，由a>b不能得到ac>bc，故不正确； 11

B项，当a>0，b<0(如a＝1，b＝－2)时，由a>b不能得到<，故不正确；

2

2

11B.<

ab3

D．a>b

3

abccabC项，由a－b＝(a＋b)(a－b)及a>b可知当a＋b<0时(如a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝－3)均不能得到a>b，故不正确；

2

2

22

b?232??b?232??D项，a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)＝(a－b)·??a＋?＋b?，因为?a＋?＋b >0，?2?4??2?4?

3

3

2

2

所以可由a>b知a－b>0，即a>b，故正确．

(2)A：取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B：当c<0时，ac>bc?a0，所以a

【答案】 (1)D (2)C

角度二 与充要条件相结合命题的判断

(1)设a，b∈R，则“(a－b)·a<0”是“a

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2

3333

abcc2

(2)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件