§4.4 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，1，(π，0)，
2
()(3π
，－1，(2π，0)．2
)π
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，0，(π，－1)，
2
()()3π
，0，(2π，1)．2
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间对称中心对称轴方程
R[－1,1]2π奇函数
R[－1,1]2π偶函数
Error!Rπ奇函数
[[ππ2kπ－，2kπ＋
22
π3π2kπ＋，2kπ＋
22
(kπ，0)x＝kπ＋
π2
]][2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π](ππkπ－，kπ＋
22
无
)(πkπ＋，0
2x＝kπ)()无
kπ，02
概念方法微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？提示 (1)f (x)为偶函数的充要条件是φ＝π
2＋kπ(k∈Z)；
(2)f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)由sin(π6＋2π
3
)＝sin π2π6知，3是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．((3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )题组二 教材改编
2．函数f (x)＝cos(2x＋π
4
)的最小正周期是________．
答案 π
3．y＝3sin(2x－π)[π
6在区间0，2]上的值域是________．
答案 [－3
2
，3
]解析 当x∈[0，π
2]时，2x－π6∈[－π5π
6，6
]，
sin(2x－π)[1
6∈－2
，1]，
故3sin(2x－π6)∈[－3
2
，3]，
即y＝3sin(2x－π)[π][3
6在0，2上的值域为－2，3].
4．函数y＝－tan(2x－
3π4
)的单调递减区间为________________．
答案 (π8＋kπ2，5π8＋kπ
2
)(k∈Z)
解析 由－π3π2＋kπ<2x－4<π
2
＋kπ(k∈Z)，
)
×πkπ5πkπ
得＋ (3π πkπ5πkπ 的单调递减区间为＋，＋(k∈Z)．48282 )()题组三 易错自纠 5．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是( )A．y＝cos|2x|C．y＝cos2x＋答案 ABC 解析 A项，y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；B项，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；2π C项，y＝cos2x＋的最小正周期T＝＝π； 26ππ D项，y＝tan2x－的最小正周期T＝. 246．(多选)已知函数f (x)＝sinx－A．函数f (x)的最小正周期为2πB．函数f (x)在区间0， B．y＝|cos x| π6 D．y＝tan2x－ ()()4 π ()()π ()2 π (x∈R)，下列结论正确的是( ) []2 π 上是增函数 C．函数f (x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f (x)是奇函数答案 ABC 解析 由题意，可得f (x)＝－cos x，对于选项A，T＝ 2π ＝2π，所以选项A正确；1 对于选项B，y＝cos x在0，选项B正确； []2 π 上是减函数，所以函数f (x)在区间0， []2 π 上是增函数，所以 对于选项C，f (－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f (x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.7．函数y＝sinx－ ()4 π 的对称轴为__________________，对称中心为________． 3ππ 答案 x＝＋kπ，k∈Z ＋kπ，0，k∈Z 44 ()ππ3πππ 解析 由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ， 42444k∈Z. 故函数y＝sinx－ ()4 π 的对称轴为x＝ 3ππ ＋kπ，k∈Z；对称中心为＋kπ，0，k∈Z.44 () 三角函数的定义域和值域 例1 (1)函数y＝2sin ()πxπ －(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )63 A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3答案 A ππxπ7π 解析 因为0≤x≤9，所以－≤－≤， 3636所以－ 32≤sin ()πxπ －≤1，则－3≤y≤2.63 所以ymax＋ymin＝2－3. (2)函数y＝sin x－cos x的定义域为________．π5π＋，＋答案 2kπ(k∈Z)2kπ44 []解析 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． π5π 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数 44的定义域为Error!. π7π (3)当x∈，时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________． 667 答案 ，2 8 π7π1 解析 因为x∈，，所以sin x∈－，1. 662 [][][][]又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x) ＝2sin x－ (14 )2＋ 78 ， 177 所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝Error!或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为，2. 488 [](4)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________．答案 － 332 解析 f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．∵cos x＋1≥0， 1 ∴当cos x<时，f′(x)<0，f (x)单调递减； 21 当cos x>时，f′(x)>0，f (x)单调递增， 21 ∴当cos x＝时，f (x)有最小值． 2又f (x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，31 且当cos x＝时，sin x＝±， 22∴当sin x＝－ 32 时，f (x)有最小值，31 33即f (x)min＝2×－×1＋＝－. 222 思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)已知函数f (x)＝sinx＋实数a的取值范围是______．π 答案 ，π 3 ()()()π π1 ，其中x∈－，a，若f (x)的值域是－，1，则632 [][]ππππ 解析 ∵x∈－，a，∴x＋∈－，a＋， 6366 [][][]
2021新高考版大一轮复习用书数学第四章 4.4
