§4.4 三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,1,(π,0),
2
()(3π
,-1,(2π,0).2
)π
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,0,(π,-1),
2
()()3π
,0,(2π,1).2
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间对称中心对称轴方程
R[-1,1]2π奇函数
R[-1,1]2π偶函数
Error!Rπ奇函数
[[ππ2kπ-,2kπ+
22
π3π2kπ+,2kπ+
22
(kπ,0)x=kπ+
π2
]][2kπ-π,2kπ][2kπ,2kπ+π](ππkπ-,kπ+
22
无
)(πkπ+,0
2x=kπ)()无
kπ,02
概念方法微思考
1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少?相邻两个对称中心的距离呢?
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期;相邻两个对称中心的距离也为半个周期.
2.函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是奇函数,偶函数的充要条件分别是什么?提示 (1)f (x)为偶函数的充要条件是φ=π
2+kπ(k∈Z);
(2)f (x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y=sin x在第一、第四象限是增函数.( × )
(2)由sin(π6+2π
3
)=sin π2π6知,3是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.((3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( × )(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × )题组二 教材改编
2.函数f (x)=cos(2x+π
4
)的最小正周期是________.
答案 π
3.y=3sin(2x-π)[π
6在区间0,2]上的值域是________.
答案 [-3
2
,3
]解析 当x∈[0,π
2]时,2x-π6∈[-π5π
6,6
],
sin(2x-π)[1
6∈-2
,1],
故3sin(2x-π6)∈[-3
2
,3],
即y=3sin(2x-π)[π][3
6在0,2上的值域为-2,3].
4.函数y=-tan(2x-
3π4
)的单调递减区间为________________.
答案 (π8+kπ2,5π8+kπ
2
)(k∈Z)
解析 由-π3π2+kπ<2x-4<π
2
+kπ(k∈Z),
)
×πkπ5πkπ
得+ (3π πkπ5πkπ 的单调递减区间为+,+(k∈Z).48282 )()题组三 易错自纠 5.(多选)下列函数中,最小正周期为π的是( )A.y=cos|2x|C.y=cos2x+答案 ABC 解析 A项,y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期为π;B项,由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;2π C项,y=cos2x+的最小正周期T==π; 26ππ D项,y=tan2x-的最小正周期T=. 246.(多选)已知函数f (x)=sinx-A.函数f (x)的最小正周期为2πB.函数f (x)在区间0, B.y=|cos x| π6 D.y=tan2x- ()()4 π ()()π ()2 π (x∈R),下列结论正确的是( ) []2 π 上是增函数 C.函数f (x)的图象关于直线x=0对称D.函数f (x)是奇函数答案 ABC 解析 由题意,可得f (x)=-cos x,对于选项A,T= 2π =2π,所以选项A正确;1 对于选项B,y=cos x在0,选项B正确; []2 π 上是减函数,所以函数f (x)在区间0, []2 π 上是增函数,所以 对于选项C,f (-x)=-cos(-x)=-cos x=f (x),所以函数是偶函数,所以其图象关于直线x=0对称,所以选项C正确;选项D错误.故选ABC.7.函数y=sinx- ()4 π 的对称轴为__________________,对称中心为________. 3ππ 答案 x=+kπ,k∈Z +kπ,0,k∈Z 44 ()ππ3πππ 解析 由x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,由x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ, 42444k∈Z. 故函数y=sinx- ()4 π 的对称轴为x= 3ππ +kπ,k∈Z;对称中心为+kπ,0,k∈Z.44 () 三角函数的定义域和值域 例1 (1)函数y=2sin ()πxπ -(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )63 A.2-3 B.0 C.-1 D.-1-3答案 A ππxπ7π 解析 因为0≤x≤9,所以-≤-≤, 3636所以- 32≤sin ()πxπ -≤1,则-3≤y≤2.63 所以ymax+ymin=2-3. (2)函数y=sin x-cos x的定义域为________.π5π+,+答案 2kπ(k∈Z)2kπ44 []解析 要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示. π5π 在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数 44的定义域为Error!. π7π (3)当x∈,时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为________. 667 答案 ,2 8 π7π1 解析 因为x∈,,所以sin x∈-,1. 662 [][][][]又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x) =2sin x- (14 )2+ 78 , 177 所以当sin x=时,ymin=,当sin x=Error!或sin x=1时,ymax=2.即函数的值域为,2. 488 [](4)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)=2sin x+sin 2x,则f (x)的最小值是________.答案 - 332 解析 f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1).∵cos x+1≥0, 1 ∴当cos x<时,f′(x)<0,f (x)单调递减; 21 当cos x>时,f′(x)>0,f (x)单调递增, 21 ∴当cos x=时,f (x)有最小值. 2又f (x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),31 且当cos x=时,sin x=±, 22∴当sin x=- 32 时,f (x)有最小值,31 33即f (x)min=2×-×1+=-. 222 思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值). (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值). (4)一些复杂的三角函数,可考虑利用导数确定函数的单调性,然后求最值.跟踪训练1 (1)已知函数f (x)=sinx+实数a的取值范围是______.π 答案 ,π 3 ()()()π π1 ,其中x∈-,a,若f (x)的值域是-,1,则632 [][]ππππ 解析 ∵x∈-,a,∴x+∈-,a+, 6366 [][][]
2021新高考版大一轮复习用书数学第四章 4.4
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)