一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为
的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式a?2ab?b?(a?b)．
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
222的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元
.
【典型例题】
类型一、用配方法解一元二次方程
1. （2016春?石景山区期末）用配方法解方程：2x﹣12x﹣2=0．
【思路点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【答案与解析】解：2x﹣12x﹣2=0，
2
系数化为1得：x﹣6x﹣1=0，
2
移项得：x﹣6x=1，
22
配方得：x﹣6x+9=10，即（x﹣3）=10， 开方得：x﹣3=±， 则x1=3+，x2=3﹣．
【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 举一反三：
【高清ID号：388499
关联的位置名称（播放点名称）：用配方法解一般的一元二次方程例2、用配方法解含字母系数的一元二次方程例3】
【变式】 用配方法解方程 （1）
22
2
（2）x?px?q?0
2【答案】（1）2x?3?5x
2x2?5x??3
53x?? 225523522 x?x?()???()
2424521 (x?)?
41651 x???
443 x1?,x2?1.
2 x?2（2）x?px?q?0
2ppx2?px?()2??q?()2
22p2p2?4q(x?)?
24①当p?4q≥0时，此方程有实数解，
2?p?p2?4q?p?p2?4q； x1?,x2?22②当p?4q＜0时，此方程无实数解.
2类型二、配方法在代数中的应用
2. 用配方法证明?10x?7x?4的值小于0．
【思路点拨】
本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．
【答案与解析】
?10x?7x?4?(?10x?7x)?4??10222?27??x?x??4
10?? ??10?x???274949?x????4 10400400?2??7?49? ??10??x???4 ??20400??????7?497?111?? ??10?x?． ??4??10x?????20402040????7?7?111??∵ ?10?x?，∴ ?10x??0， ?0????20?4020???即?10x?7x?4?0．故?10x?7x?4的值恒小于0．
【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和
一个常数的式子来证明． 举一反三：
【变式】试用配方法证明：代数式2x?x?3的值不小于【答案】 2x?x?3?2?x?2222222223． 8??21?x??3 2?22?21?1??1???2?x?x????????3
2?4??4?????2??1?1??2??x?????3
4?16?????1?1??2?x????3
4?8?1?23??2?x???．
4?8?1?1?2323??∵ 2?x???0，∴ 2?x????．
4?4?88??即代数式2x?x?3的值不小于
3. （2015春?宜兴市校级月考）若把代数式x+2bx+4化为（x﹣m）+k的形式，其中m，k
为常数，则k﹣m的最大值是 ． 【答案】
；
2
2
2
2222223． 8【解析】解：x+2bx+4
222=x+2bx+b﹣b+4
22
=（x+b）﹣b+4；
2
∴m=﹣b，k=﹣b+4，
则k﹣m=﹣（b﹣）+∵﹣（b﹣）≤0， ∴当b=时，k﹣m的最大值是故答案为：
．
．
2
2
．
【总结升华】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 举一反三：
【高清ID号：388499
关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值提高练习】 【变式】（1）
2的最小值是 ；（2）
2的最大值是 .
【答案】（1）2x?6x?3?2(x?3x)?3?2?x?3x?()?()??3?2(x?)?；
22?22? 所以
的最小值是??23232?321515 2（2）?x2?4x?5??(x2?4x)?5??(x2?4x?22?22)?5??(x?2)2?9
所以
42的最大值是9.
24. 分解因式：x?x?2ax?1?a．
【答案与解析】
x4?x2?2ax?1?a2?x4?2x2?x2?2ax?1?a2
22?（x4?2x2?1）?（x2?2ax?a2）?（x2?1）?（x?a）
?(x2?1?x?a)(x2?1?x?a)．
【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式
分解因式．
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)
