∴?AEC?90?．
在RtVAEC中，?AEC?90?．O为AC中点． ∴OE?1AC?OA?2． 2点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.
23．（1）见解析；（2）AD=4.5. 【解析】 【分析】
（1）若证明BC是半圆O的切线，利用切线的判定定理：即证明AB⊥BC即可； （2）因为OC∥AD，可得∠BEC=∠D=90°，再有其他条件可判定△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD的长． 【详解】
（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴BD⊥AD， ∴∠DBA+∠A=90°， ∵∠DBC=∠A，
∴∠DBA+∠DBC=90°即AB⊥BC， ∴BC是半圆O的切线； （2）解：∵OC∥AD， ∴∠BEC=∠D=90°， ∵BD⊥AD，BD=6， ∴BE=DE=3， ∵∠DBC=∠A， ∴△BCE∽△BAD，
CEBE43?，即?； BDAD6AD∴AD=4.5 【点睛】 ?本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质． 24．（1）证明见解析；（2）?CEP是等边三角形，理由见解析；（3）CE?【解析】 【分析】
（1）由菱形ABCD性质可知，AD?CD，?ADP??CDP，即可证明； （2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，由PA=PE，推出?DCP??DEP，可知
2AP.
?CPF??EDF?60?，由PA═PE=PC，即可证明△PEC是等边三角形；
（3）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出
∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形即可解答； 【详解】
（1）证明：在菱形ABCD中，AD?CD，?ADP??CDP， 在?ADP和?CDP
?AD?CD???ADP??CDP， ?DP?DP?∴?ADP??CDP?SAS?. （2）?CEP是等边三角形，
由（1）知，?ADP??CDP，∴?DAP??DCP，AP?CP， ∵PA?PE，∴?DAP??DEP， ∴?DCP??DEP，
∵?CFP??EFD（对顶角相等），
∴180???PFC??PCF?180???DFE??DEP， 即?CPF??EDF?60?， 又∵PA?PE，AP?CP； ∴PE?PC， ∴?CEP是等边三角形. （3）CE?2AP.
过程如下：证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°， 在△PDA和△PDC中，
?PD＝PD???PDA＝?PDC，， ?DA＝DC?∴△PDA≌△PDC， ∴PA=PC，∠3=∠1， ∵PA=PE， ∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC， ∴∠FPC=EDF=90°， ∴△PEC是等腰直角三角形． ∴CE=2PC=2AP. 【点睛】
本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．(1)1000,(2)答案见解析；（3）900. 【解析】 【分析】
（1）结合不剩同学的个数和比例，计算总体个数，即可．（2）结合总体个数，计算剩少数的个数，补全条形图，即可．（3）计算一餐浪费食物的比例，乘以总体个数，即可． 【详解】
解：（1）这次被调查的学生共有600÷60%＝1000人， 故答案为1000；
（2）剩少量的人数为1000﹣（600+150+50）＝200人， 补全条形图如下：
（3），
答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐． 【点睛】
考查统计知识，考查扇形图的理解，难度较容易．
【常考题】数学中考试题附答案
