黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
第I卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
r1.已知向量a?A. 1 【答案】D 【解析】 【分析】
?r3,1，则|a|?（ ）
?B. 2
C. 3 D. 2
由向量的模长公式求模长即可.
r【详解】因为a??r3,1，所以|a|???3?2?12?2.故选D.
【点睛】本题考查向量的模长.向量a?(x,y)的模长|a|?
rrx2?y2. 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2?c2?a2?3bc，则A?（ ） A.
? 6B.
5π 6C.
π 3D.
2π 3【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理可求出cosA，再求A.
b2?c2?a23bc3详解】由余弦定理可得cosA?， ??2bc2bc2又A??0,π?，所以A?π. 故选A. 6b2?c2?a2a2?c2?b2【点睛】本题考查余弦定理.cosA?，cosB?，
2ac2bca2?b2?c2，对于余弦定理，一定要记清公式的形式. cosC?2ab
3.在等差数列{an}中，若a3?a7?12，则a5?（ ） A. 4 【答案】B 【解析】 【分析】
由等差数列性质可得a3?a7?2a5，则答案易求.
【详解】在等差数列{an}中，因为3?7=5?2，所以a3?a7?2a5. 所以a5?B. 6
C. 8
D. 10
1?12?6.故选B. 2【点睛】本题考查等差数列性质的应用.在等差数列{an}中，若p?q?s?t，则
ap?aq?as?at.特别地，若p?q?2s，则ap?aq?2as.
uruururuururuur4.已知e1,e2是单位向量，若|e1?4e2|?13,则e1与e2的夹角为（ ）
A. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 60?
C. 90?
D. 120?
uruururuururuur先由|e1?4e2|?13求出e1ge2，再求e1与e2夹角的余弦值，进而可得夹角.
uruururuur【详解】因为|e1?4e2|?13，所以e1?4e2的??2ur2uruuruur2?13，则e1?8e1ge2?16e2?13.
uruururuurur2uur2由e1,e2是单位向量，可得|e1|=|e2|=1，e1=e2=1， uruururuururuur1e1ge21uruurcose,e=?ege=所以12.所以. 122|e1|g|e2|2uruur所以e1,e2=60?.故选B.
r2【点睛】本题考查平面向量的数量积、模、夹角的综合问题.利用|a|?a2可以把模长转化为
数量积运算.
5.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若acosA?bcosB?0，则?ABC的形状一定是（ ） A. 直角三角形 形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】
由已知等式结合正弦定理，可得sin2A?sin2B，再结合三角形中角的范围分析角A,B的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】由acosA?bcosB?0结合正弦定理， 可得sinAcosA?sinBcosB?0，则sin2A?sin2B. 所以2A?2B或2A?2B?π.所以A?B或A?B?所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.
【点睛】本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化. 解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解.
6.已知等比数列{an}的各项均为正数，且A. 9 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 6
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角
π. 2a20?a193a1a3?（ ） ，，a2成等差数列，则
a?a421817C. 3
D. 1
a20?a19a18q2?a17q2??q2，于是根据已知条件求等比数列的公比即可. 易得
a18?a17a18?a17【详解】设公比为q.由
a3a3a1a3，，a2成等差数列，可得1?a2?3， 42223a1a1q22所以，则q?2q?3?0，解q??1(舍去)或q?3. ?a1q?22a20?a19a18q2?a17q2??q2?9.故选A. 所以
a18?a17a18?a17【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.
7.在等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，S2?3，S4?9，则S6?（ ） A. 12 【答案】C 【解析】 【分析】
B. 18
C. 21
D. 27
S2,S4?S2,S6?S4也成等比数列，则S6易求.
【详解】在等比数列中，可得S2,S4?S2,S6?S4也成等比数列，
所以?S4?S2??S2?S6?S4?，则?9?3??3?S6?9?，解得S6?21.故选C.
【点睛】本题考查等比数列前n项和的性质,也可以由a1,q进行基本量计算来求解.若等比数列的前n项和是Sn，则Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,L(Sm?0)也成等比数列.
8.在数列{an}中，已知a1?4，a2?5，且满足an?2an?an?1(n?3)，则a2019A.
22?（ ）
D.
1 4B.
5 4C.
1 54 5【答案】B 【解析】 【分析】
由已知的递推公式计算数列的前几项的值，发现周期规律，然后求a2019. 【详解】由an?2an?an?1(n?3)，可得an?an?1(n?3). an?2又a1?4，a2?5，所以a3?同理可得a5?aa251?,a4?3?， a14a2414,a6?,a7?4,a8?5. 55于是可得数列{an}是周期数列且周期是6. 因为2019?6?336?3，所以a2019?a3?5.故选B. 4【点睛】本题考查数列的表示法，递推公式和周期数列.由递推公式判断周期数列时，若递推公式是由前面两项推出后一项，则需要得到连续两项重复才能判定是周期数列.
9.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，
uuurruuurr大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB?a,AD?b，
uuur为的中点，则EBFAE?（ ）
4r2rA. a?b
55【答案】A 【解析】 【分析】
2r4rB. a?b
554r2rC. a?b
332r4rD. a?b
33uuuruuuruuur把向量AE分解到AB,AD方向，求出分解向量的长度即可得答案.
【详解】设BE?m，则AE?BF?2BE?2m，在Rt△ABE中，可得AB?5m.
2m225过点E作EH?AB于点H,则EH??m，EH∥AD，
55m
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
