正交函数族与正交多项式

正交多项式

正交函数族与正交多项式

1、什么是权函数？

定义4：

设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数??(??)满足条件：

（1）∫????????(??)????存在且为有限值（k=0,1，…）；

（2）对[a,b]上的非负连续函数g(x)，如果∫????(??)??(??)????=0,则g(x)≡0. 则称??(??)为[a,b]上的一个权函数。

??

??

2、什么是内积？

内积：(??(??),??(??))=∫????(??)??(??)????

??(??)是[a,b]上的权函数，内积：(??(??),??(??))=∫????(??)??(??)??(??)????，常用??(??)≡1。

??

??

3、正交及正交函数族概念

定义5

若f(x),g(x)∈??[??,??],??(??)为[a,b]上的权函数且满足

(??(??),??(??))=∫????(??)??(??)??(??)????=0, (2.1)

则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权??(??)正交。若函数族??0(??),??1(??),…,????(??),…满足关系

0 , ??≠??,??

(????,????)=∫????(??)????(??)????(??)????={ (2.2)

????>0,??=??.则称{????(??)}是[a,b]上带权??(??)的正交函数族；若????≡1，则称为标准正交函数族。

例如，三角函数

1,cos??,sin??, cos2??, sin2??,…

解：

在区间[???，??]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[???，??]上的内积k=j）：

????

(1,1)=∫1×1????=???(???)=2??

???

(sin????,sin????)=∫sin??2????????=??

同理(cos????,cos????,)=??

???

??

任意两个不同函数在区间[???，??]上的内积（k≠j）：

(cos????,sin????)=∫sin????cos??????????=0 (cos????,cos????)=∫cos????cos????????=0 同理(sin????,sin????)=(cos????,sin????)=0

因此三角函数族为在区间[???，??]上带权的正交函数族。

??????

????

4、n次正交多项式

定义6

设????(??)是[a,b]上首项系数an≠0的n次多项式，??(??)为[a,b]上的权函数。如果多项式序列{????(??)}0∞满足关系式（2.2），则称多项式序列{????(??)}0∞为在[a,b]上带权??(??)正交，称????(??)为在[a,b]上带权??(??)的n次正交多项式。

5、如何构造正交多项式

按照Schemite正交化构造： 幂函数为1,??,…,????,…

令φ0(??)=1(幂函数为f??(??)=f0(??)

φ1(??)=??1(??)?

(??1(??),??0(??))

??0(??)

(??0(??),??0(??))

(??2(??),??1(??))(??2(??),??0(??))

φ2(??)=??2(??)???1(??)???0(??)

(??1(??),??1(??))(??0(??),??0(??))

???1

φ??(??)=????(??)?∑

??=0

(????(??),????(??))(????(??),????(??))

????(??)

把????(??)=????带入，i=j φ??(??)=???

例题，求区间 [-1,1]上，权函数??(??)=1的正交多项式。

解：用幂函数正交构造，用Schemite正交化构造

p0(??)=1

∫?1??????(??,1)

()p1??=???×1=???1=??

(1,1)∫1????

?11

??

??()

???1(??,??????)∑??=0????(??),

(????(??),????(??))

n=1,2,…

(??2,??)(??2,1)1

p2(??)=??????×1=??2? (??,??)(1,1)32

??

(??,p??(??))

p??(??)=?????∑p??(??)

(p??(??),p??(??))

?????1

6、正交多项式的性质

（1）对任何P(x)∈Hn均可表示为??0(??)，??1(??)，…,????(??)的线性组合，即：

??

??(??)=∑????????(??).

??=0

（2）????(??)与任何次数小于n的多项式P(x)∈Hn-1正交，即：

(????,?? )=∫??(??)????(??)??(??)????=0.

????

7、正交多项式定理

定理4

设{????(??)}0∞是[a,b]上带权??(??)的正交多项式，对n≥0成立递推关系

????+1(??)=(???????)????(??)??????????1(??), ??=0,1,2,…, (2.4)

其中

??0(??)=1，???1(??)=0， (??????(??),????(??))????=,

(????(??),????(??))(????(??),????(??))

????=,??=1,2,…,

(?????1(??),?????1(??))2()()这里(??????(??),????(??))=∫??????????????????.

??

定理5

设{????(??)}0∞是[??,??]上带权??(??)的正交多项式，则????(??)(??≥1)在区间（a,b）内有n个不同的零点。

证明：假定????(??)在(??,??)内的零点都是偶数重的，则????(??)在[??,??]上符号保持不变。这与

(????,??0)=∫??(??)????(??)??0(??)????=0

????

矛盾，故????(??)在(??,??)内的零点不可能全是偶重的，现设????(??=1,2,…,??)为,????(??)在(??,??)内的奇数重零点，不妨设

??

则????(??)在????(??=1,2,…,??)处变号，令

??(??)=(?????1)(?????2)…(???????),

于是φ??(??)??(??)在[??,??]上不变号，则得