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教 案
（2013-2014学年 第2学期）
课程名称：
任课教师： 教师职称： 所在院系：
线性代数
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教学教案设计（首页）
课程名称 线性代数 总课时 34 理论课时 34 实践课时 0 主讲教师 职称 助教 授课方式 √ 课堂讲授 □ 实践课 考核方式 √ 考试 □ 考查 课程类型 □ 公共课 √ 基础课 □ 专业基础课 □ 专业课 □ 选修课 教材名称 线性代数 作者 同济大学数学系 出版社 高等教育出版社 书名 作者 出版社 指定参考书 模块名称 考试范围 考试时间 第一模块 行列式与矩阵的运算 1-80页 第10周 第二模块 线性方程组及向量组 81-120页 第17周 教学目的及要求 学习必备 欢迎下载
教学教案设计（续页）
线 订 装 线 订 装第一 章 行列式 §1.1 n 阶行列式定义
教学目的：使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算
教学重点：n阶行列式定义及计算 教学难点：n阶行列式定义
一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。 二、新授
（一） 二阶、三阶行列式
对于二元线性方程组
??a11x1?a12x2?b1?a21x （1.1） 1?a22x2?b2采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a22与第二个方程乘以a12相减得
（a11a22－a21a12）x1= b1a22- b2a12
第二个方程乘以a11与第一个方程乘以a21相减得
（a11a22－a21a12）x2=a11b2-a21b1
若a11a22－a21a12≠0，方程组的解为
xb1a22?b2a11ab?a21b11?a x2?11211a22?a21a12aa （1.2）
1122?a21a12容易验证（1.2）式是方程组(1.1)的解。
称a11a22－a21a12为二阶行列式，它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D。我们若记 D1?b1a12bDb12?a11
2a 22a21b2方程组的解（1.2）式可写成 xD11?D xD2?2D 对三元线性方程组
??a11x1?a12x2?a13x3?b1?a?21x1?a22x2?a23x3?b2 （1.3） ?a31x1?a32x2?a33x3?b3与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解：
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DD1D x2?2 x3?3 DDD x1?a11a12D=a21a22a31a32a13a23a33
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31(1.4)
为方程组（1.3）的系数行列式, Dj (j=1,2,3)是将D的第j列换成常数列而得到的行列式。 二阶、三阶行列式可用对角线法则计算。
为研究高阶行列式的结构，下面考察等式（1.4）： （1.4）式也可写成如下形式
a11 a21a31a12a22a32a13a23?a33j1j2j3?(?1)?(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3
这里j1 j2 j3是1，2，3的一个排列，(二) n阶行列式的定义
j1j2j3?表示对所有的3级排列求和。
1. 定义：把由n2个数排成n行n列的
a11a21
?an1a12a22?an2????a1na2n （1.5） ?ann称为n阶行列式,它等于所有取自(1.5)中属于不同行同列的n个元素的乘积 a1j1a2j2?anjn
的代数和。这里j1 j2 … jn是1，2，…，n的一个排列，当τ(j1 j2 … jn)是偶数时，乘积项前面取正号，当τ(j1 j2 … jn)是奇数时，乘积项前面取负号。亦可以将这一定义写成
a11a12?a1nj1j2?jna21a22?a2n?????an1an2?ann?(j1j2?jn)(?1)a1j1a2j2?anjn (1.6) ?等式（1.6）右边表示此n阶行列式的展开式，亦表示n阶行列式的值。
当n=2或n=3时(1.6)式表示二阶或三阶行列式,我们还规定一阶行列式|a|的值等于a。
2. 例:计算行列式
00 (1) D4=0a41解:
00a3200a2300a140 (2) D?040a31000a12000000a430a24 00学习必备 欢迎下载
000a4100a3200a2300a14000D4??(?1)?(4321)a14a23a32a41?a14a23a32a41
0D4?0a310a12000000a43a110?00?00a24?(?1)?(2413)a12a24a31a43??a12a24a31a43 00???00?a11a22?ann ?根据例中（1），对于n阶对角行列式可证得下面的结论：
a22?0?ann0a1n0?a2,n?10?(?1)?[n(n?1)?21]a1na2,n?1?an1
????an1?a110000a12a22000a13a23a330a14a24a34a44例5 求下面四阶上三角行列式的值
解：根据行列式的定义可知，若乘积项不为零，第一列只能取a11，第二列两个非零元素只能取a22，第三列三个非零元素只能取a33，第四列四个非零元素只能取a44，故此
a11000a12a2200a13a23a330a14a24a34a44?(?1)?(1234)a11a22a33a44?a11a22a33a44
对于n阶上、下三角行列式，我们可以证得以下结论：
a110?0a12a22?0?a1na110a22?an2???00?a11a22?ann。 ??a2na?a11a22?ann 21????annan1?ann由此，设法将一般高阶行列式化成三角行列式再求值，是计算行列式的一种简单方便的方法。 （三）n级排列 及其奇偶性
1.定义：由n个数1，2，3，……，组成的一个有序数组称为一个n级排列。 例1 4321是一个4级排列，35241是一个5级排列．123…n是一个n级排列，它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列．
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