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概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1.略.见教材习题参考答案.
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件: (1) A发生,B,C都不发生; (2) A与B发生,C不发生; (3) A,B,C都发生;
(4) A,B,C至少有一个发生; (5) A,B,C都不发生; (6) A,B,C不都发生;
(7) A,B,C至多有2个发生; (8) A,B,C至少有2个发生. 【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC
(4) A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=ABC (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.略.见教材习题参考答案
4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(AB)=0.3,求P(AB). 【解】 P(AB)=1P(AB)=1
[P(A)P(AB)]
=1[0.70.3]=0.6
5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求: (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值? (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值?
【解】(1) 当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.
(2) 当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.
6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,
(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.
【解】 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)
----------------------------------------------------
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=
111++44313= 12423.设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|A∪B) 【解】 P(BAB)?P(AB)P(A)?P(AB) ?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.51?
0.7?0.6?0.54111,,,求将此密码破译出534 ?33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为的概率.
【解】 设Ai={第i人能破译}(i=1,2,3),则
P(Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)
i?13 ?1?423???0.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有
一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0,1,2,3
由全概率公式,得
P(A)??P(A|Bi)P(Bi)
i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458
.
习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只
球中的最大号码,写出随机变量X的分布律. 【解】
X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.13C53 ?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5----------------------------------------------------
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故所求分布律为
X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求: (1) X的分布律;
(2) X的分布函数并作图; (3)
133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.
222【解】
X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35
(2) 当x<0时,F(x)=P(X≤x)=0
当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=
22 3534 35当1≤x<2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1 故X的分布函数
x?0?0,?22?,0?x?1?35F(x)??
?34,1?x?2?35?1,x?2?(3)
----------------------------------------------------
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1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535
3312P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?2235341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.
P(X?0)?(0.2)3?0.0082P(X?1)?C130.8(0.2)?0.096P(X?2)?C(0.8)0.2?0.384P(X?3)?(0.8)3?0.512故X的分布律为 X 0 0.008 分布函数 1 0.096 2 0.384 232
3 0.512 P x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2
?0.488,2?x?3?x?3??1,P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896
4.(1) 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a?kk!,
其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a.
(2) 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N, k=1,2,…,N,
试确定常数a. 【解】(1) 由分布律的性质知
1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!???ae?
故 a?e----------------------------------------------------
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(2) 由分布律的性质知
NN1??P(X?k)??k?1k?1a?a N即 a?1.
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率; (2) 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)
(1) P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?
P(X?3,Y?3)
212?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+
222233 C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3?(0.6)(0.7)
?0.32076
(2) P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?0)? P(X?2,Y?1)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2)
23223?C130.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)? 22(0.6)3(0.3)3?C3(0.6)20.4C130.7(0.3)? 2322(0.6)3C130.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0.3
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,
则有
P(X?N)?0.01
即 利用泊松近似
k?N?1?200k200?kCk?0.01 200(0.02)(0.98)??np?200?0.02?4.
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概率论与数理统计习题答案-第二版-修订版-复旦大学
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