高考《三角函数》部分归类解析
近几年来，特别是使用了新教材后，高考试题中的三角函数试题的难度有所降低，无论是选择题、填空题，还是解答题，都是以中低档的形式为主.考查内容主要包括三角函数的求值、三角函数的图象和性质、解三角形及三角函数与向量、导数综合试题等.现将 全国各地高考试题中三角函数部分进行归类分析，供参考.
一．三角函数的化简与求值问题
例1．（2005年广东省数学高考试题）化简：f(x)?cos(?23sin(6k?16k?1??2x)?cos(??2x) 33?3?2x)(x?R,k?Z)，并求函数f(x)的值域和最小正周期．
f(x)?cos(2k??解：
?3?2x)?cos(2k????2x)?23sin(?2x)33??2cos(?2x)?23sin(?2x)?4cos2x33函数f(x)的值域为：[?4，4]， 函数f(x)的周期T???
2????；
评注：处理三角函数的周期，一般需先把函数解析式化简为Asin(?x+?)，Acos(?x+?)的形式，然后
再利用周期公式求周期；或利用函数图象求周期.
二．三角函数的值域与最值问题
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现.
1?cos2x?8sin2x例2．（2005年全国卷Ⅰ高考试题）当0?x?时，函数f(x)?的最小
2sin2x?值为（ ）
（A）2
（B）23
（C）4
（D）43
1?cos2x?8sin2x2cos2x?8sin2x1?4tanx?解：∵f(x)?=≥4，
sin2x2sinxcosxtanx11?时，即tanx?，显然在（0，）内可以取到.故选（C）. tanx221?cos2xxx例3．（2005年重庆市高考试题）：若函数f(x)??asincos(??)的最大值为2，
?224sin(?x)2当且仅当4tanx?试确定常数a的值.
2cos2xxx1a1a21解:f(x)??asincos?cosx?sinx??sin(x??),其中角?满足sin??4cosx2222441?a2 1a2由已知有??4.解之得,a??15.44评注：三角函数的最值问题，可以化成y=Asin(?x+?)+k的形式或通过换元变成二次函数的形式求最值；也可利用函数的单调性、均值不等式、数形结合等方法求解。
三．三角函数的图象变换、性质与画法
例4．（2005年全国卷Ⅰ高考试题）设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的
一条对称轴是直线x??8。
（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像。
??是函数y=f(x)的图像的对称轴， ∴sin(2×+?)=±1， 88??3?∴+?=kπ+，k∈Z. ∵-π
444223??5?所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为：[kπ+,kπ+], k∈Z. 4883??3?5?7? (III)由y=sin(2x- )知： x 0 π 48888解：（I）∵x=
y
故函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像是：
小结:y=sinx
图象的对称轴为
-2 2-1 0 1 0 -2 2x?k???(k?Z)，对称中心为(k?,0)(k?Z); 2y=cosx图象的对称轴为x=k?(k?Z),对称中心为
(k???k?,0)(k?Z)；y=ctgx及y=tgx的图象的对称中心为(,0)(k?Z). 在处理图象的对称中心问题时，22注意不在图象上的对称中心是易错点.
四．三角函数与向量、导数、数列的综合试题
向量、导数是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为架起代数与几何知识的桥梁。其中向量与三角的交汇就是当今高考命题的一个热点.
?xx??x?x?例5．（2005年江西理科试题）已知向量a?(2cos,tan(?)),b?(2sin(?),tan(?)),
2242424??令f(x)?a?b.是否存在实数x?[0,?],使f(x)?f?(x)?0(其中f?(x)是f(x)的导函数)?若存在，则求出
x的值；若不存在，则证明之.
解：f(x)?a?b?22cos
xx?x?x?sin(?)?tan(?)tan(?) 2242424xx1?tantan?1x2x2xxxx22?22cos(sin?cos)???2sincos?2cos2?1?sinx?cosx 222221?tanx1?tanx22222令f(x)?f?(x)?0,即:f(x)?f?(x)?sinx?cosx?cosx?sinx?2cosx?0
22五．三角函数的实际应用问题 可得x??,所以存在实数x???[0,?],使f(x)?f?(x)?0.
三角函数的应用在《考试大纲》中要求：能运用三角函数的有关知识解决简单的实际问题，以及在其他方面的简单应用。这类问题以成为新高考数学试题的一个热点。
例6．（2005年辽宁省高考试题）如右图，在直径为1的圆O中，
作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y?x?0.
（Ⅰ）将十字形的面积表示为?的函数；
（Ⅱ）?为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
分析：本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、
用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. .
2（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则S?2xy?x2?2sin?cos??cos?(?4????2).
1151cos2???sin(2???)?, 2222?其中??arccos25. 当sin(2???)?1,即2????时,S最大. 25（Ⅱ）解法一：S?2sin?cos??cos2??sin2??所以，当???1255?1?arccos时,S最大. S的最大值为. 4252例7．（2005年天津市高考试题）（某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如下图所示，
塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220米），OA=200（米），
图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）
分析：本小题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力；本题利用倒角公式借助均值不等式求最值。
解：以O为原点，OA为x轴、OB为y轴建立直角坐标系，
各点坐标为：A（200，0），B（0，220），C（0，300）
1?x?200? 2200?x
设点P的坐标为（x，） （x?200）
2x?200x?200?300?220x?800x?64022??直线PC的斜率kBC?， 直线PB的斜率kBC?
x2xx2x直线l的方程为：y?由直线PC到直线PB的角的公式，得：
tan?BPC?kPB?kBC1?kPBkBC16064x642x??2?
x?800x?640x?288x?160?640160?6401??x??2882x2xx160?640?228?2160?640?288?0 x160?6401当且仅当x?时，即x?320时上式等号成立，这时，点P的纵坐标为y??310?220??60，
x2由均值不等式：x?当tan?BPC最大时，?BPC最大。所以，当此人距地面60米的时，观看铁塔的视角最大。
六．三角形的求解
例8．（2005年全国卷Ⅲ高考试题）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，
3b，c成等比数列，cosB?.
43 （Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）设BA?BC?,求a?c的值.
2解：（Ⅰ）由cosB?33722AsinC. ,得sinB?1?()2?, 由b=ac及正弦定理得 sinB?sin444?cosAcosCsinCcosA?cosCsinAsin(A?C)?sinB?1?4???sin2BsinB7sinAsinCsinAsinCsin2B于是cotA?cotC?1?1tanAtanC7.
（Ⅱ）由BA?BC?333得ca?cosB?,由cosB?,可得ca?2,即b2?2. 224?a?c?3
由余弦定理 b2=a2+c2－2ac+cosB 得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.
(a?c)2?a2?c2?2ac?5?4?9,1例9．（2005年湖北省高考试题） 在△ABC中，已知tanB?3,cosC?,AC?36，求
3△ABC的面积.
分析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
解：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，由tanB?3,得B?60?,?sinB?31,cosB?. 22又sinC?1?cos2C?22bsinC36?22,应用正弦定理得：c???8. 3sinB323112332?????. 232363?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?故所求面积S?ABC?1bcsinA?62?83. 2
2005年9月 《中学生理科月刊》 第9期
高考三角函数部分归类解析
