2018-2019全国高中数学联赛模拟试题(1)
2018-2019 附参考答案
第一试
一、
选择题(每小题6分,共36分):
a2?x21、函数f?x??是奇函数的充要条件是
x?a?a(A)-1≤a<0或0<a≤1 (C)a>0
(B)a≤-1或a≥1 (D)a<0
2、已知三点A(-2,1)、B(-3,-2)、C(-1,-3)和动直线l:y=kx.当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时,下列结论中,正确的是
(A)点A在直线l上 (B)点B在直线l上
(C)点C在直线l上 (C)点A、B、C均不在直线l上
3、如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,过顶点A1在空间作直线l,使l与
直线AC和BC1所成的角都等于60°.这样的直线l可以做 (A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条
D1 A1 D B1 C1
4、整数的n?C100200两位质因数的最大值是
(A)61
B)67
(C)83
(D)97
C B A 5、若正整数a使得函数y?f?x??x?13?2ax的最大值也是整数,
则这个最大值等于
(A)3 (B)4
(C)7
(D)8
6、在正整数数列中,由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1,再染2个
偶数2、4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16;再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,….则在这个红色子数列中,由1开始的第2003个数是
(A)3844 (B)3943 (C)3945 (D)4006
二、
填空题(每小题9分,共54分):
2
1、在复平面上,Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z+1、2z+1、(z+1),A为直角顶点,且|z|=2.设集合M={m|z∈R,m∈N+},P={x|x=
m1,m∈M}.则2m集合P所有元素之和等于 .
4
2、函数f(x)=|sinx|+sin2x+|cosx|的最大值与最小值之差等于 . 3、关于x的不等式
x2?2a2?2x?a2?4a?7?0 222x?a?4a?5x?a?4a?7????的解集是一些区间的并集,且这些区间的长度的和小于4,则实数a的取值范围是 .
4、银行计划将某项资金的40%给项目M投资一年,其余的60%给项目N.预计项目M有可能获得19%到24%的年利润,N有可能获得29%到34%的年利润.年终银行必须回笼资金,同时按一定的回扣率支付给储户.为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%,则给储户的回扣率的最小值是 . 5、已知点(a,b)在曲线arcsinx=arccosy上运动,且椭圆ax+by=1在圆x+y=
2
2
2
2
23的
外部(包括二者相切的情形).那么,arcsinb的取值范围是 .
6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为a,球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、,则tan(+)的值是 .
三、
(20分)
△ABC的三边长a、b、c(a≤b≤c)同时满足下列三个条件
(i)a、b、c均为整数;
(ii)a、b、c依次成等比数列;
(iii)a与c中至少有一个等于100.
求出(a,b,c)的所有可能的解.
四、
(20分)
在三棱锥D-ABC中,AD=a,BD=b,AB=CD=c,且∠DAB+∠BAC+∠DAC=180°,∠DBA+∠ABC+∠DBC=180°.求异面直线AD与BC所成的角.
五、
(20分)
设正系数一元二次方程ax+bx+c=0有实根.证明:
2
4(1) max{a,b,c}≥(a+b+c);
91(2) min{a,b,c}≤(a+b+c).
4
2018-2019全国高中数学联赛模拟试题(1)
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