Probability & Statistics
第一章 随机事件与概率 1．基本概念：
?：样本空间
?：样本点
2．随机事件之间的关系和运算
包含：A?B 相等：A?B 和（并）事件：A?B
积（交）事件：A?B（或AB） 差事件：A?B
互不相容（互斥）事件：A?B?? 对立（逆，余）事件：A???A 运算定律：
①交换律：A?B?B?A，A?B?B?A
②结合律：A??B?C???A?B??C，A??B?C???A?B??C
③分配律：A??B?C???A?B???A?C?，A??B?C???A?B???A?C? ④德·摩根(De Morgan)法则：A?B?A?B，A?B?A?B
3．古典型概率：P(A)?4．几何型概率：P(A)??5．频率：fn(A)?nA nnA（A事件中包含nA个样本点） nm(A) m(?)6．概率的性质：
①非负性：对于任意一个事件A，P(A)?0 ②规范性：P(?)?1
③可列可加性：当可列无限个时间A1,A2,?两两互不相容时，P(?Ai)??P(Ai)
i?1i?1??④P(?)?0 ⑤P(A)?1?P(A) ⑥P(A)?1
⑦P(B?A)?P(B)?P(AB) ⑧P(B?A)?P(A)?P(B)?P(AB)
?7．条件概率：P(A|B)?8．乘法公式：
P(AB) P(B)当P(A)?0时，P(AB)?P(A)P(B|A)
当n?2且P(A1?An?1)?0时，P(A1?An)?P(A1)P(A2|A1)?P(An|A1?An?1) 9．随机事件的独立性：
事件A与B相互独立?P(AB)?P(A)P(B)
事件A,B,C相互独立?P(AB)?P(A)P(B)且P(AC)?P(A)P(C)且P(BC)?P(B)P(C)且 P(ABC)?P(A)P(B)P(C)kk10．二项概率：Pn(k)?Cnp(1?p)n?k，k?0,1,?,n
11．设n个事件A1,?,A2构成样本空间?的一个划分，B是一个事件，当P(Ai)?0(i?1,?,n)时：
1
全概率公式：P(B)??P(Ai)P(B|Ai)
i?1nP(A)P(B|A)贝叶斯公式：当P(B)?0时，P(Aii|B)?i?n,i?1,?,n
P(Aj)P(B|Aj)j?1
第二章 离散型随机变量及其分布 1．随机变量：X?X(?)
2．概率函数：P(X?ai)?pi,i?1,2,?
3．二项分布：X~B(n,p)的概率函数为：P(X?k)?Ckknp(1?p)n?k,k?0,1,?,n
4．泊松定理：设??np,(0?pkkn?k??n?0n?1)，对于?k?0，limCnpn(1?pn)?e??kn??k!
5．泊松分布：X~P(n)的概率函数为：P(X?k)?e????kk!,k?0,1,2,?
6．联合概率函数：P(X?ai,Y?bj)??P({X?ai}?{Y?bj})?pij，i,j?1,2,? 7．随机变量的独立性：随机变量X与Y相互独立?P(X?ai,Y?bj)?P(X?ai)P(Y?bj)8．条件概率函数：P(X?ai|Y?bj)?pijpP(Y?bj|X?ai)?pij
.jp.i9．随机变量分布的可加性：设X与Y相互独立，则
①当X~B(m,p),Y~B(n,p)时，X?Y~B(m?n,p) ②当X~P(?1),Y~P(?2)时，X?Y~P(?1??2)
第三章 连续型随机变量及其分布 1．随机变量的分布函数：
F(x)?FX(x)?P(X?x)，???x???
则P(a?X?b)?F(b)?F(a) 2．分布函数的性质：
①0?F(x)?1
②当x1?x2时，F(x1)?F(x2) ③xlim???F(x)?0，limx??F(x)?1
④F(x)在(??,??)上每一点处至少右连续
3．随机变量X与Y的联合分布函数：F(x,y)?P(X?x,Y?y)?P((X,Y)?Dxy) 4．联合分布函数的性质：
①0?F(x,y)?1
②固定一个自变量的值时，F(x,y)作为一元函数关于另一个自变量是单调不减的 ③对任意固定一个y，xlim???F(x,y)?0；对任意固定一个x，limy???F(x,y)?0；
xlimF(x,y)?0，limF(x,y)?0
y??????xy????④固定一个自变量的值时，F(x,y)作为一元函数关于另一个自变量至少右连续 ⑤对任意的x1,x2,y1,y2?R：F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1)?0 ⑥xlim???F(x,y)?P(X???,Y?y),limy?b?F(x,y)?F(x,b)
2
5．连续性随机变量X的概率密度函数f(x)：F(x)??f(t)dt
??①f(x)?0 ②?f(x)dx?1
????x6．连续型随机变量的性质：
①F(x)是连续函数，且当f(x)在x?x0处连续时，F?(x0)?f(x0) ②对?c?Const?R，P(X?c)?0
③对?a,b?Const?R，P(a?x?b)??f(x)dx
ab7．常用连续型随机变量：
x?a?0, 1??x?a?, a?x?b①均匀分布X~R(a,b)：f(x)??b?a，F(x)??, a?x?b
b?a??0, else ? x?b?1, ??e??x, x?0?1?e??x, x?0②指数分布X~E(?)：f(x)??,F(x)??
else x?0?0, ?0, ③正态分布X~N(?,?2)：f(x)?④标准正态分布X~N(0,1)：?(x)?12??12?e? (x??)22?2
xe? x22，分布函数：Φ(x)??12???e? t22dt
性质：Φ(?x)?1?Φ(x)，Φ(0)?0.5，Φ(??)?0，Φ(?)?1
?b????a???正态概率计算公式：P(a?x?b)?Φ???Φ??
??????标准正态分布的p分位数：up?Φ?1(p)，up??u1?p
8．二维随机变量的联合密度函数f(x,y)：F(x,y)???f(u,v)dudv
????① ②
9．二维随机变量的边缘分布函数：FX(x)?F(x,?)，FY(y)?F(?,y)
10．二维随机变量的边缘密度函数：fX(x)??f(x,y)dy，fY(y)??f(x,y)dx
??????xy11．随机变量的独立性：随机变量X与Y相互独立?F(x,y)?FX(x)FY(y) 12．条件密度函数：
fX|Y(x|y)?f(x,y)f(x,y)fY|X(y|x)?fY(y)，fX(x)
①fX|Y(x|y)?0 ②?????fX|Y(x|y)dx??????f(x,y)dxfY(y)?1
13．条件分布函数：
?? ( ) ∫?? (?? )???? ∫
??
????
??(?? )??(?? )
( )????，?? ∫?? (?? )???? ∫????
( ) ( ) ?? ?? (?? ??) (??)??
14．当X与Y相互独立时：?? ( )
(??) (??) (??)
?? ( )，?? ( )
(?? ??) (??)
(??) (??) (??)
?? ( )
3
15．求 ??( )的分布函数与密度函数的一般步骤：
①由 的值域 确定 的值域 ②对任意 ，求出
?? ( ) ( ) (??( ) ) ( ??) ∫??( )??
③按分布函数性质写出?? ( ) ④通过求导得?? ( )
16．当 ??( ?? ) 时， ?? ??( ?? ?? ) ， ??( )
) )当X与Y相互独立， ??( ?? ， ??( ?? )时： ??( ?? ??
17．设 * ??+， * ??+， ( ??)独立同分布，且 的分布函数和密度函数分别为??( )和??( )，则????(??) ????(??)?? ??(??)，????(??) ??, ???(??)-?? ??(??)
第四章 随机变量的数字特征
1．离散型随机变量 的概率函数为 ( ?? ) ?? ， ，??( ) ∑ ?? ?? 连续性随机变量 的密度函数为??( )，??( ) ∫ ??( )?? 2．常用分布的期望：
当 ??(?? ??)时，??( ) ????
当 (??)时，??( ) ??，??( ) ?? ?? 当 ??(?? ??)时，??( ) 当 ??(??)时，??( )
(?? ??) +
，??( ) ???? 当 ??( ?? )时，??( ) ，??( ) ?? 3．期望计算公式：
①离散型随机变量 的概率函数为 ( ?? ) ?? ， ，??,??( )- ∑ ??(?? )?? 连续性随机变量 的密度函数为??( )，??,??( )- ∫ ??( )??( )??
②离散型随机变量( )的概率函数为 ( ?? ????) ?? ??， ?? ，??,??( )- ∑ ∑????(?? ????)?? ?? 连续性随机变量( )的密度函数为??( )，??,??( )- ∫ ∫ ??( )??( )?? ?? 4．期望的性质： ①??(??) ??
②??( ??) ??( ) ?? ③??( ?? ) ??( ) ????( )
④当X与Y相互独立时，??( ) ??( )??( )
5．方差：??( ) ??*, ???( )- + ??( )?,??( )- ；标准差：√??( ) 6．常用分布的方差：
当 ??(?? ??)时，??( ) ????( ???) 当 (??)时，??( ) ?? 当 ??(?? ??)时，??( ) 当 ??(??)时，??( )
(?????) +
+
+
?? 当 ??( ?? )时，??( ) ?? 7．方差的性质： ①??(??)
4
②??( ??) ??( )
③??( ± ) ??( ) ??( )± ??*, ???( )-, ???( )-+ ④当X与Y相互独立时，??( ± ) ??( ) ??( )
8．中心化随机变量： ? ???( )，其??( ?) ，??( ?) ??( ) 标准化随机变量： ?
??( )?√??( )，其??( ) ，??( ?)
9．协方差：??????( ) ??*, ???( )-, ???( )-+ ??( )???( )??( )
??( ± ) ??( ) ??( )± ??????( )
10．协方差的性质： ①??????( ) ??????( )
②??????( ??)
③??????( ?? ) ????????( )
??
??
??
??
④??????(∑ ∑ ??) ∑∑??????( ??)
=
??=
= ??=
11．相关系数：??( ) ??( ? ?) ??????( )√??( )??( ) 12．相关系数的性质： ①??( ) ??( )
② ??( )
③ ??( ) ?? ?? ，使 ( ??) 13．相关性：
①当??( ) 时，X与Y正线性相关 ②当??( ) ? 时，X与Y负线性相关 ③当??( ) 时，X与Y不相关 ④X与Y相互独立 X与Y不相关
⑤若二维随机变量( )服从二维正态分布，则X与Y相互独立?X与Y不相关 14．X与Y的( ??)阶原点矩：??( ??)；X与Y的( ??)阶中心矩：??,( ???( ))??-
X与Y的( ??)阶原点矩：??( ?? ??)；X与Y的( ??)阶中心矩：??,( ???( ))??( ???( ))??-
二维随机变量( )的期望向量：(??( )??( )??????( )
??( )*；( )的协方差矩阵：(??????( )??( )
*
15．p分位数：?? ( ????，其中,??)≥??
( ≥??，??1为中位数
??) ???2 变异系数：??
√??( ) ??( )
众数：,离散型随机变量： ( ???)≥ ( ?? )，
连续型随机变量：??( ?
)≥??( )， ?? ，则???或 ?为众数
16．两个不等式： 3 ??准则： ( ? ≥3 ??) .3%
切比雪夫不等式：设??( ) ，??( ) ?? ，对?ε> ， ( ? ≥??) 2??2
柯西—许瓦兹不等式：对?随机变量( )，,??( )- ??( )??( )
第五章 随机变量序列的极限
5
同济版概率统计要点
