中考数学人教版专题复习：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系
一、教学内容
弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系
1. 圆心角、圆周角的概念.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.
二、知识要点
1. 弧、弦、圆心角
（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的
弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的
弧相等.
︵ ︵ ︵ ︵
如图所示，（1）若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，AB＝CD；（2）若AB＝CD，
︵ ︵
则∠AOB＝∠COD，AB＝CD；（3）若 AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD.
1
A
B
O
C D
2. 圆周角
（1 ）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半.
C
O
C 1 2 O
O
B
C
A
①
B
A
E
② D
A
B
③
（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， °的圆周角所对的弦 90
是直径.
三、重点难点
本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的
旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.
【典型例题】
例 1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB＝∠DOC，试说明：
︵ ︵
（1）DB＝AC；
（2）BD＝AC.
2
A
O
B C
D
︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵
分析：（1）∵∠DOC＝∠AOB，∴DC＋BC＝AB＋BC，∴BD＝AC. （2）∵在同 圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD＝AC.
︵ ︵
解：（1）∵∠DOC＝∠AOB，∴DC＝AB，
︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ∴DC＋BC＝AB＋BC，即BD＝AC.
︵ ︵
（2）由（1）得BD＝AC，∴BD＝AC.
︵
例 2. 如图所示，C 是AB的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（
）
A. 7 个 B. 3 个 C. 2 个
B
C
D. 1 个
A
O
D
分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ ADC＝∠ABC＝∠CAB＝∠CDB， 故与∠ADC 相等的角共有 3 个.
解：B
评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换， 将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.
3
︵
例 3. 如图所示，BC 为半圆 O 的直径，G 是半圆上异于 B、C 的点，A 是BG
的中点，AD⊥BC 于点 D，BG 交 AD 于点 E，请说明 AE＝BE.
分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆 周角是直角的性质，因此，欲说明 AE 与 BE 相等，可转化为说明∠BAD＝∠ABE， ︵
圆周角∠ABE 所对的弧为AG，连结 AB、AC 即可解决问题.
A
G
E
B
D O C
︵ ︵
解：连结 AB、AC. ∵AB＝AG，∴∠ABE＝∠ACB.
又∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAE＝90°.
∵BC 为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠BAE. ∴∠BAE＝∠ABG， ∴AE＝BE.
例 4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC＝150°，求∠ABC、∠ADC、∠EBC 的
度数，并判断∠ ABC 和∠ADC、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.
B
E
O α 150°
A
D
C
分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧 AC 所对的圆心
4
角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，优弧 ABC 所对的圆心角是大于平角的∠ α，所对的圆周角是∠ADC.
解：∵∠AOC＝150°，
1
∴∠ABC＝∠AOC＝75°.
2
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，
1
∴∠ADC＝∠α＝105°，
2
∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°.
∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等.
评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角
性质解题的前提.
例 5. 如图所示，AB、CD 是⊙O 的弦，∠A＝∠C. 求证：AB＝CD.
D
B
C
O
A
分析：此题的证明方法很多，由于 AB 和 CD 在圆中，且为弦，可证明 AB 和 CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明 AB 和 CD 相等. 等
等.
解法一：如图（1）所示，过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E、 F.
∴AB＝2AE，CD＝2CF，∠AEO＝∠CFO＝90°.
5
(名师整理)最新中考数学专题复习《弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系》精品教案
