最新高考数学最后冲刺卷三
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． ．．．．．．．．1．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，
305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人
1恰好对门的概率为_______．
52．已知f(x)?3sin(2x?π若存在??(0,π)，使f(x??)?f(x??)对一切实数x恒成立，)，6则?=
π． 23．已知A = { (x，y) | x2?y2 ≤4 }，B = { (x，y) | (x?a)2? (y?a)2≤2a2，a ? 0 }，则A∩B表示区域的面积的取值范围是____?0,2??_______．
4．方程 |ex?1|?ax?1?0有两个不同的解，则实数a的取值范围是__ a＜?e______． 5．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A?DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形（点A??平面ABC），则下列命题中正确的是①②③．
①动点A?在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A?DE；③三棱锥A??FED的体积有最大值． uuuruuuruuurπ6．在△ABC中，(AB?3AC)?CB?0，则角A的最大值为．
67．已知函数y?f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?x?ax(a?R)，且f(2)?6，则a=
25 ．
?2x?y?1,?*8．若x，y满足约束条件?x?y?2,目标函数z?kx?2y(k?N)仅在点(1,1)处取得最
?y?x?2,?小值，则k的值为_____1__．
tanA→→→→9．已知△ABC中，3(CA＋CB)·AB＝4AB2，则＝?7.
tanB10．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为(1, ＋∞)．
→→uuuruuuruuurBA·BC1
11．在△ABC中，若AB＝1，AC?3,|AB?AC|?|BC|，则＝．
→2|BC|
12．已知三棱锥P?ABC的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，
则该三棱锥P?ABC的体积为11.
→→→13．已知O是△ABC的外心，AB = 2a，AC = ，∠BAC = 120?，若AO = xAB＋yAC，
2
a则x＋y的最小值是 2 ．
72n2*?对任意n?N14．若关于x的不等式（组）0≤x?x?恒成立，则所有2n9?2?1?92这样的解x构成的集合是{?1,}．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤.
15.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos B＝ccos B＋bcos C．
(1)求角B的大小；
(2)设向量m＝(cos A，cos 2A)，n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tan C的值． (1)由题意，2sin Acos B＝sin Ccos B＋cos Csin B，
所以2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A． 因为0＜A＜π，所以sin A≠0．所以cos B＝(2)因为m·n＝12cos A－5cos 2A，
3?43?
所以m·n＝－10cos2A＋12cos A＋5＝－10?cos A－?2＋．
5?5?
34π4
所以当cos A＝时，m·n取最大值．此时sin A＝(0＜A＜)，于是tan A＝．
5523tan A＋tan B所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝7．
1－tan Atan B16．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?AA1? 3a，
2π．因为0＜B＜π，所以B＝． 2429BC?2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，
且AE?CF? 2a．
（1）求证：B1F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥B1?ADF的体积； （3）求证：BE∥平面ADF．
（1）证明：∵AB?AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
∵B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B1B． ∵BCIB1B?B，∴AD⊥平面B1BCC1． ∵B1F?平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．
在矩形B1BCC1中，∵C1F?CD?a，B1C1?CF? 2a， ∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．
∴?CFD??C1B1F．∴?B1FD? 90°．∴B1F⊥FD． ∵ADIFD?D，∴B1F⊥平面AFD． （2）∵B1F⊥平面AFD，
11152a3∴VB1?ADF??S△ADF?B1F=??AD?DF?B1F?．
3233（3）连EF，EC，设ECIAF?M，连DM，
QAE?CF?2a，∴四边形AEFC为矩形，?M为EC中点． QD为BC中点，?MD//BE．
．BE?平面ADF，?BE//平面ADF QMD?平面ADF，
17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资
收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （1）若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模
x型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说
150明
原因；
10x－3a（2）若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
x＋2(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：
当x∈[10,1 000]时，①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)
≤恒成立． 5对于函数模型f(x)＝＋2．
1501 00020
当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2＜9，所以f(x)
1503≤9恒成立．
110x但x＝10时，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．
155510x－3a3a＋2020
(2)对于函数模型f(x)＝，即f(x)＝10－，当3a＋20＞0，即a＞－时
x＋2x＋23递增；
982
要使f(x)≤9对x∈[10,1 000]恒成立，即f(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，a≥；
3xx
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)考前冲刺卷三及答案解析
