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课时跟踪检测（一）
A组——12＋4提速练
一、选择题
?1?若a∥b，则实数x为( )
1．(2017·沈阳质检)已知平面向量a＝(3,4)，b＝?x，?，
?2?
2A．－
33C． 8
2B． 33D．－
8
13
解析：选C ∵a∥b，∴3×＝4x，解得x＝，故选C.
28
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝( )
?77?A.?，?
?93?
7??7
C.?，－?
3??9
?77?B.?－，?
?93?
7??7
D.?－，－?
3??9
解析：选A 设c＝(x，y)，由题可得a＋b＝(3，－1)，a－c＝(1－x,2－y)．因为c??3x－y＝0，
⊥(a＋b)，b∥(a－c)，所以?
?22－y＋3?
1－x＝0，
7
x＝，??9解得?7
y＝??3，
故c＝
?7，7?.
?93???
3．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量
c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2) C．(－∞，＋∞)
B．(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选D 由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.
4．(2017·西安模拟)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|＝( )
A．5 C．3
B．4 D．1
2
2
2
解析：选B 因为|a＋b|＝13，所以|a＋b|＝a＋2a·b＋b＝13，即9＋2×3×|b|cos 120°＋|b|＝13，得|b|＝4.
5．(2018届高三·西安八校联考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，
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2
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―→―→
则向量CD在AB方向上的投影是( )
A.32
2
32
B．－
2 D．－35
C．35
―→―→―→―→
解析：选C 依题意得，AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，AB·CD＝(2,1)·(5,5)＝15，―→―→
AB·CD15―→―→―→
|AB|＝5，因此向量CD在AB方向上的投影是＝＝35.
―→5|AB|
―→―→―→
6．已知A，B，C三点不共线，且点O满足OA＋OB＋OC＝0，则下列结论正确的是( ) ―→1―→2―→A．OA＝AB＋BC
33―→1―→2―→
C．OA＝AB－BC
33
―→2―→1―→
B．OA＝AB＋BC
332――→→1―→
D．OA＝－AB－BC
33
21――→―→―→―→→―→
解析：选D ∵OA＋OB＋OC＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA＝－×(AB＋AC)
321―1―2―→―→→―→―→→1―→
＝－(AB＋AC)＝－(AB＋AB＋BC)＝－AB－BC，故选D.
3333
7．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b＝( ) A.?
?31?
，? ?22?3??1
B.?，? ?22?D．(1,0)
?133?C.?，? ?44?
解析：选B 设b＝(cos α，sin α)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a·b＝(3，1)·(cos
??α，sin α)＝3cos α＋sin α＝2sin?＋α ?＝3，得α＝，故b＝?，
3
?
?
π
π3
?1?23??. 2?
8．(2018届高三·广东五校联考)已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为( )
A．－1 C．1
B．2 D．－2
2
2
2
2
解析：选A 由|a＋b|＝|a－b|可得a＋b＋2a·b＝a＋b－2a·b，所以a·b＝0，即
a·b＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.
―→―→―→―→
9．(2017·惠州调研)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC―→
－2OA)＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 C．正三角形
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
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―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选A (OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0，∵AB―→―→―→―→―→―→―→―→
－AC＝CB，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，故选A.
10．(2017·日照模拟)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝―→―→
30°，AD是BC边上的高，则AD·AC＝( )
A．0 C．8
B．4 D．－4
解析：选B 因为AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，所以AD＝4sin 30°―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
＝2，所以AD·AC＝AD·(AB＋BC)＝AD·AB＋AD·BC＝AD·AB＝2×4×cos 60°＝4，故选B.
11．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD―→―→―→
相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 C.5
B．22 D．2
解析：选A 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为42
－2)＝.
5
25?25?
因为P在圆C上，所以P?1＋cos θ，2＋sin θ?.
55??―→―→―→―→―→
又AB＝(1,0)，AD＝(0,2)，AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)， 25?1＋
?5cos θ＝λ，所以?
252＋??5sin θ＝2μ，
22
＝，所以圆C：(x－1)＋(y22
1＋252
255
则λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且
55π
仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
2
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―→―→
12．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝7，BC＝3，则AO·BC的值为( )
3A． 2C．2
5B． 2D．3
―→1―→
解析：选A 取BC的中点为D，连接AD，OD，则OD⊥BC，AD＝(AB2―→―→―→―→―→―→―→―→―→＋AC)，BC＝AC－AB，所以AO·BC＝(AD＋DO)·BC＝1―→―→―→―→―→―→1―→―→―→―→
AD·BC＋DO·BC＝AD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝
223―→2―→2122
(AC－AB)＝×[(7)－2]＝.故选A.
22
二、填空题
13．(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
解析：因为
3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cos 60°＝
3－λ1
＝＝， 2
|3e1－e2|·|e1＋λe2|21＋λ2解得λ＝答案：
3
. 3
3e1－e2·e1＋λe2
3 3
1
14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，且m，n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，
3则实数t的值为________．
解析：∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×122
|n|×＋|n|＝0，解得t＝－4.
3
答案：－4
―→―→―→―→―→
15．(2017·石家庄质检)已知AB与AC的夹角为90°，|AB|＝2，|AC|＝1，AM＝
2
34
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λ―→―→―→―→
λAB＋μAC (λ，μ∈R)，且AM·BC＝0，则的值为________．
μ解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，
C(1,0)，所以AB＝(0,2)，AC＝(1,0)，BC＝(1，－2)．设M(x，y)，
―→―→―→
则AM＝(x，y)，所以AM·BC＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x―→―→―→
＝2y，又AM＝λAB＋μAC，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，1
yλ21
所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.
μx4
1答案：
4
16．(2017·北京高考)已知点P在圆x＋y＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，―→―→
则AO·AP的最大值为________．
―→―→
解析：法一：由题意知，AO＝(2,0)，令P(cos α，sin α)，则AP＝(cos α＋2，―→―→
sin α)，AO·AP＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝―→―→
1，即α＝0，P(1,0)时等号成立，故AO·AP的最大值为6.
―→―→―→
法二：由题意知，AO＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO·AP＝(2,0)·(x＋2，
2
2
―→―→―→
y)＝2x＋4≤6，当且仅当x＝1，P(1,0)时等号成立，故AO·AP的最大值为6.
答案：6
B组——能力小题保分练
1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并―→―→
延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
5A.－
81C. 4
1B. 8D.11 8
―→―→
―→―→―→
解析：选B 如图所示，AF＝AD＋DF.
―→1―→―→
又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF21―→1―→3―→＝AC＋AC＝AC， 244
―→1―→3―→所以AF＝AB＋AC.
24
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通用版2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测一理
