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课时跟踪检测(一)
A组——12+4提速练
一、选择题
?1?若a∥b,则实数x为( )
1.(2017·沈阳质检)已知平面向量a=(3,4),b=?x,?,
?2?
2A.-
33C. 8
2B. 33D.-
8
13
解析:选C ∵a∥b,∴3×=4x,解得x=,故选C.
28
2.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足c⊥(a+b),且b∥(a-c),则c=( )
?77?A.?,?
?93?
7??7
C.?,-?
3??9
?77?B.?-,?
?93?
7??7
D.?-,-?
3??9
解析:选A 设c=(x,y),由题可得a+b=(3,-1),a-c=(1-x,2-y).因为c??3x-y=0,
⊥(a+b),b∥(a-c),所以?
?22-y+3?
1-x=0,
7
x=,??9解得?7
y=??3,
故c=
?7,7?.
?93???
3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量
c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,2) C.(-∞,+∞)
B.(2,+∞)
D.(-∞,2)∪(2,+∞)
解析:选D 由题意知向量a,b不共线,故2m≠3m-2,即m≠2.
4.(2017·西安模拟)已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=13,则|b|=( )
A.5 C.3
B.4 D.1
2
2
2
解析:选B 因为|a+b|=13,所以|a+b|=a+2a·b+b=13,即9+2×3×|b|cos 120°+|b|=13,得|b|=4.
5.(2018届高三·西安八校联考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),
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2
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―→―→
则向量CD在AB方向上的投影是( )
A.32
2
32
B.-
2 D.-35
C.35
―→―→―→―→
解析:选C 依题意得,AB=(2,1),CD=(5,5),AB·CD=(2,1)·(5,5)=15,―→―→
AB·CD15―→―→―→
|AB|=5,因此向量CD在AB方向上的投影是==35.
―→5|AB|
―→―→―→
6.已知A,B,C三点不共线,且点O满足OA+OB+OC=0,则下列结论正确的是( ) ―→1―→2―→A.OA=AB+BC
33―→1―→2―→
C.OA=AB-BC
33
―→2―→1―→
B.OA=AB+BC
332――→→1―→
D.OA=-AB-BC
33
21――→―→―→―→→―→
解析:选D ∵OA+OB+OC=0,∴O为△ABC的重心,∴OA=-×(AB+AC)
321―1―2―→―→→―→―→→1―→
=-(AB+AC)=-(AB+AB+BC)=-AB-BC,故选D.
3333
7.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=( ) A.?
?31?
,? ?22?3??1
B.?,? ?22?D.(1,0)
?133?C.?,? ?44?
解析:选B 设b=(cos α,sin α)(α∈(0,π)∪(π,2π)),则a·b=(3,1)·(cos
??α,sin α)=3cos α+sin α=2sin?+α ?=3,得α=,故b=?,
3
?
?
π
π3
?1?23??. 2?
8.(2018届高三·广东五校联考)已知向量a=(λ,1),b=(λ+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数λ的值为( )
A.-1 C.1
B.2 D.-2
2
2
2
2
解析:选A 由|a+b|=|a-b|可得a+b+2a·b=a+b-2a·b,所以a·b=0,即
a·b=(λ,1)·(λ+2,1)=λ2+2λ+1=0,解得λ=-1.
―→―→―→―→
9.(2017·惠州调研)若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(OB-OC)·(OB+OC―→
-2OA)=0,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 C.正三角形
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
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―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析:选A (OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,即CB·(AB+AC)=0,∵AB―→―→―→―→―→―→―→―→
-AC=CB,∴(AB-AC)·(AB+AC)=0,即|AB|=|AC|,∴△ABC是等腰三角形,故选A.
10.(2017·日照模拟)如图,在△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=―→―→
30°,AD是BC边上的高,则AD·AC=( )
A.0 C.8
B.4 D.-4
解析:选B 因为AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是BC边上的高,所以AD=4sin 30°―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
=2,所以AD·AC=AD·(AB+BC)=AD·AB+AD·BC=AD·AB=2×4×cos 60°=4,故选B.
11.(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD―→―→―→
相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )
A.3 C.5
B.22 D.2
解析:选A 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为42
-2)=.
5
25?25?
因为P在圆C上,所以P?1+cos θ,2+sin θ?.
55??―→―→―→―→―→
又AB=(1,0),AD=(0,2),AP=λAB+μAD=(λ,2μ), 25?1+
?5cos θ=λ,所以?
252+??5sin θ=2μ,
22
=,所以圆C:(x-1)+(y22
1+252
255
则λ+μ=2+cos θ+sin θ=2+sin(θ+φ)≤3(其中tan φ=2),当且
55π
仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.
2
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―→―→
12.如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=7,BC=3,则AO·BC的值为( )
3A. 2C.2
5B. 2D.3
―→1―→
解析:选A 取BC的中点为D,连接AD,OD,则OD⊥BC,AD=(AB2―→―→―→―→―→―→―→―→―→+AC),BC=AC-AB,所以AO·BC=(AD+DO)·BC=1―→―→―→―→―→―→1―→―→―→―→
AD·BC+DO·BC=AD·BC=(AB+AC)·(AC-AB)=
223―→2―→2122
(AC-AB)=×[(7)-2]=.故选A.
22
二、填空题
13.(2017·山东高考)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________.
解析:因为
3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,所以cos 60°=
3-λ1
==, 2
|3e1-e2|·|e1+λe2|21+λ2解得λ=答案:
3
. 3
3e1-e2·e1+λe2
3 3
1
14.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,且m,n夹角的余弦值为,若n⊥(tm+n),
3则实数t的值为________.
解析:∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即tm·n+|n|=0.又4|m|=3|n|,∴t×122
|n|×+|n|=0,解得t=-4.
3
答案:-4
―→―→―→―→―→
15.(2017·石家庄质检)已知AB与AC的夹角为90°,|AB|=2,|AC|=1,AM=
2
34
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λ―→―→―→―→
λAB+μAC (λ,μ∈R),且AM·BC=0,则的值为________.
μ解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,2),
C(1,0),所以AB=(0,2),AC=(1,0),BC=(1,-2).设M(x,y),
―→―→―→
则AM=(x,y),所以AM·BC=(x,y)·(1,-2)=x-2y=0,所以x―→―→―→
=2y,又AM=λAB+μAC,即(x,y)=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),1
yλ21
所以x=μ,y=2λ,所以==.
μx4
1答案:
4
16.(2017·北京高考)已知点P在圆x+y=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,―→―→
则AO·AP的最大值为________.
―→―→
解析:法一:由题意知,AO=(2,0),令P(cos α,sin α),则AP=(cos α+2,―→―→
sin α),AO·AP=(2,0)·(cos α+2,sin α)=2cos α+4≤6,当且仅当cos α=―→―→
1,即α=0,P(1,0)时等号成立,故AO·AP的最大值为6.
―→―→―→
法二:由题意知,AO=(2,0),令P(x,y),-1≤x≤1,则AO·AP=(2,0)·(x+2,
2
2
―→―→―→
y)=2x+4≤6,当且仅当x=1,P(1,0)时等号成立,故AO·AP的最大值为6.
答案:6
B组——能力小题保分练
1.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并―→―→
延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为( )
5A.-
81C. 4
1B. 8D.11 8
―→―→
―→―→―→
解析:选B 如图所示,AF=AD+DF.
―→1―→―→
又D,E分别为AB,BC的中点,且DE=2EF,所以AD=AB,DF21―→1―→3―→=AC+AC=AC, 244
―→1―→3―→所以AF=AB+AC.
24
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通用版2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测一理
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