【高考数学专题】 求离心率的值或取值范围
一．方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
c2a2?b2b①根据题意求出a,b,c的值，再由离心率的定义椭圆e=2=2=1?()2
aaa2c2a2?b2b双曲线e=2=2=1?()2直接求解；
aaa2②由题意列出含有a,b,c的方程(或不等式)，借助于椭圆b2＝a2－c2、双曲线
b2＝c2－a2消去b，构造a,c的齐次式，求出e；
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解．
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标
?a?x0?a等．
二．解题策略
类型一 直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e 【例1】【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知双曲线 的右焦点为抛物线 ，若点A．
的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为
在该双曲线上，则双曲线的离心率为( ) B．
C．
D．
1
【答案】B 【解析】 设
，则
，所以抛物线的方程为
.
因为点到双曲线的一条渐近线的距离为， 不妨设这条渐近线的方程为又点故故选B.
【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立
的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化
在双曲线上，所以
，即
. ，即
，解得
，则，
，
为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 【举一反三】
1.【广西桂林市2019届高三4月（一模】设抛物线准线与双曲线
的两个交点分别是
的焦点为，其
是等边
，若存在抛物线使得
三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】 因为抛物线将则因为
代入
，
是等边三角形，则
，所以得
，准线为，
，不妨设为右支上的点，
，即
2
，
所以
，
.
因此双曲线的离心率为故选A
2. 【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】平面直角坐标系xOy中，双曲线：B三点，若A． 【答案】B 【解析】
解：联立渐近线与抛物线方程得由三角形垂心的性质，得所以所以
，所以
，即，
，
，
，抛物线焦点为
，
的两条渐近线与抛物线C：
的垂心为的焦点，则的离心率为 B．
C．2
D．
交于O，A，
，所以的离心率为．
故选：B．
类型二 构造a，c的齐次式，解出e
【例2】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知双曲线
(a
＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，_______． 【答案】2 【解析】
3
，则双曲线的离心率等于
高考数学专题——离心率的值或范围问题
