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2012年天津市大学数学竞赛试题（经管类）
一、填空题（共15分，每空3分）
1．设f(x)?1?f(x)sin2x?1e3x?1，则极限limf(x)? ． （ 6 ）
n?0 2．设函数f(x)连续切不等于0，又xf(x)dx?arcsinx?C，则
??dx? ． f(x)312 （ ?(1?x)2?C ）
33．半径为R的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜
?，则流出的水量V? 3333?R ） 822 ． （
2 4．设函数f(x)可微，且f(0)?0，f?(0)?1，又设平面区域D：x?y?t，则
t?0lim?1t3??Df(x2?y2)d?? ． （
2? ） 35．设函数f(x)在点x?0处二阶可导，且limf(x)（ 2 ） ?2，则f??(0)? ．
x?01?cosx二、单项选择题（共15分，每空3分）
1．设函数f(x)有连续导数，f(0)?1，f?(0)?3，则极限lim[f(x)]x?012x?（ ）．(D)
（A）1 （B）e （C）e2/3 （D）e23/22．设函数f(x)在点x?0的一个邻域内有定义，且满足f(x)?x，则有（ ）．(B) （A）f(x)在点x?0处不一定可导 （B）f(x)在点x?0处可导，且f?(0)?0 （C）f(x)在点x?0处可导，且f?(0)?0 （D）f(x)在点x?0处取得极小值 3．设连续函数y?f(x)在区间
[?3，?2]和[2，3]上的图形分别是直径
为1的上半圆周和下半圆周，在区间
[?2，0]和[0，2]上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果
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x． (A) G(x)??f(t)dt，那么函数G(x)非负的范围是（ ）
03] （B）仅为[?3，?2]?[0，2] （A）整个[?3，3] （D）仅为[?3，?2]?[0，3] （C）仅为[0，1]上连续， 4．设函数f(x)在区间[0，且f(x)?0．记I1???10f(x)dx，I2???20f(sinx)dx，
I3??40f(tanx)dx，则（ ）． (B)
（A）I1?I2?I3 （B）I2?I1?I3 （C）I2?I3?I1 （D）I3?I2?I1
1]上有连续的二阶导数，f(0)??1、f?(1)?3，并且满足 5．设函数f(x)在区间[0，?10． （B） xf(x)dx?1，则f(1)?（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
1?an?11n)2（n?1三、设an?(，a0?cos?（0????），求极限lim4(1?an)． ，2，3，?）
n??2（本题7分） （
323?22，其中an?cos?2n ）
四、设函数y?f(x)由方程x?3xy?2y?32?0确定，且f(x)可导，试求f(x)的极值． （本题7分） （极大值f(2)??2，无极小值）
五、求不定积分
?x?dx1?x2． （本题7分）（
11 arctanx?lnx?1?x2?C）
22六、设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)?1求积分，F(x)f(x)?cos2x，
?10 f(x) dx．
（本题7分） （ 2(2?1)，其中F(x)?sinx?cosx ）
七、求积分
?10xnlnnxdx，其中n为正整数． （本题7分）
1?n1nn?1(?1)nn!nnxlnxdx ） （ ，其中?xlnxdx?
0n?1?0(n?1)n?1y?2x和曲线C2：y?x2的位置如图，P(x，y)是曲线C1上任八、设曲线C与曲线C1：2感谢你的观看
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一点，过点P垂直于x轴的直线与曲线C和C2围成图形记为A，过点P垂直于y轴的直线与曲线C和C1围成图形记为B．若A和B分别绕y轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线C的方程． （本题7分） （ y?4x ） 九、设函数f(x)满足f(1)?1，并且对于x?1有f?(x)?21，证明limf(x)存
x???x2?f2(x)在，且limf(x)?1?x????4． （本题7分）
（ 提示：证明f(x)单调增加有上界，用到f(x)?f(1)??x1f?(x)dx ）
十、设函数f(x)在区间[0，a]上可导，且f(0)?0，f?(x)单调增加，证明不等式
2aaf(x)dx． （本题7分） ?0?03t2tt （ 提示：构造函数F(t)??xf(x)dx??f(x)dx，用单调性 ）
030axf(x)dx?十一、一个半径为r（r?1）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为r的圆周（如图），问当r为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？． （本题7分）
（ r?25，其中V?123?r???2(1?y2)dy ）
1?r31，0)、(1，1，1)、(0，1，1)为顶点的四面体． 十二、设?是以原点和三点(0，（1）将三重积分
x???e?22?y2?z2dxdydz表示为“先z次y后x”的三次积分；
11x2(?edx)3． （本题7分） 601y2（2）试证明
xe?????y2?z2dxdydz?1 （
xe????2?y2?z2dxdydz??dx?dy?ex0xx?y2?z2dz，
提示：后者的证明将区域?：0?x?1，0?y?1，0?z?1分成6个四面体，由对换性得
x???e?2*?y2?z2dxdydz?1x2?y2?z2edxdydz ） 6????*感谢你的观看
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2012年天津一中高考语文第一次模拟试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟。
第Ⅰ卷
一、（15，每小题3分）
１．下列各组词语中，读音完全相同的一组是（ ） Ａ．咯血/咳嗽 ．．Ｂ．箴言/斟酌 ．．Ｃ．荨麻/徇私 ．．
殷红/湮没 ．．蛊惑/商贾 ．．整饬/炽烈 ．．
瞠目/螳臂当车 ．．船舷/扣人心弦 ．．
诘问/佶屈聱牙 ．．噱头/空穴来风 ．．
辍学/绰绰有余 解数/解甲归田 ．．．．．
惬意/锲而不舍 ．．
结合/开花结果 ．．
Ｄ．吱声/龇牙 ．．戏谑/琐屑 ．．
２．下列各组词语中，只有一个错别字的一组是（ ） Ａ．嘉奖 Ｂ．告磬 Ｃ．真谛 Ｄ．调济
必须品 防微杜渐 掉胃口 大有稗益 金钢钻 平心而论 泊来品 砰然心动
一踏糊涂 脍灸人口 绵里藏针 无耻滥言
３．下列句子中标点使用正确的一项是（ ）
Ａ．“还来不来啊？你们！”小敏站在电影院门口焦急地看着手表，“电影马上就要开始了，我先进去了！”
Ｂ．直到十几天后，这才陆续地知道她家里还有严厉的婆婆；一个小叔子，十多岁，能打柴了；她是春天没了丈夫的；他本来也打柴为生，比她小十岁：大家所知道的就是这些。
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Ｃ．以《社会关爱》为主题的电影《美丽女孩》的原型，是栾川县城关一小女生张祖瑛。 Ｄ．食品安全问题，应该引起全社会的高度重视，俗话说：“人多力量大嘛。”
４．下列各句中，没有语病的一句是（ ）
Ａ．王夫人丧子后好不容易再次得子，无论从母性本能还是从自身权益出发，王夫人对宝玉都弥足珍贵。
B．这篇文章集中分析了形势，辩证地回答了在大开放、大交往、大融合的世界里，我们迫切需要用一种全新的观念来协调各种关系。
C．听说博士村官潘晓聪要给大家讲农技课，大家兴致很高，还没到时间，村委会会议室就挤满了很多村民来听课，场面好不热闹。
D．通过仪器来观察世界开阔了人们的视野，由此也改变了我们对物质世界的认识。 5．下列有关文学常识的表达，不正确的一项是 ．．．
A．陶渊明的诗歌按内容可以分成田园诗和山水诗。后代诗人像王维、孟浩然、李白、杜甫等都受到他精神品格的影响，从他的诗中得到了艺术的养料。
B．建安时期是文学的自觉时代，也是文人五言诗创作的繁荣时期，创作成绩最大的是曹家父子及以王粲、刘桢为代表的建安七子。
C．汉代散文可分为史传文、政论文、赋三类。其中赋以铺叙、描写较多为其特色，司马相如是西汉最有代表性的赋家。
D．唐宋两代是我国古代散文发展的高峰期，以韩愈、柳宗元为代表的“唐宋八大家”既继承了先秦两汉散文的优良传统，又吸收了六朝文学抒情写景、语言修辞方面的艺术经验。 二、（9分，每小题3分） 阅读下面的文字，回答6-8题。
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