第二章 导数与微分
【内容提要】
1．导数的概念
设函数y＝f(x)在x0的某邻域（x0－δ，x0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x在点x0处有改变量Δx时，相应地，函数有改变量?y?f(x0??x)?f(x0)．若?x?0时，极限lim记为
f?(x0)或y?(x0)或y?|x?x0或
?y存在，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，称此极限值为f(x)在点x0 处的导数，
?x?0?xdydf|x?x0或|x?x0
dxdx ?x?0?时，改变量比值的极限lim??x?0?y称f(x)在x0处的右导数，记为f??(x0)。 ?x?x?0?时，改变量比值的极限lim??x?0?y称f(x)在x0处的左导数，记为f??(x0)。 ?x2．导数的意义
导数的几何意义：f?(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。
导数的物理意义：路程对时间的导数s?(t0)是瞬时速度v(t0) 。以此类推，速度对时间的导数v?(t0)是瞬时加速度a(t0)。
3．可导与连续的关系
定理 若函数y?f(x)在点x0处可导，则函数在点x0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。
4．导数的运算
定理1（代数和求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则
(u?v)??u??v?
定理2（积的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则
(uv)??u?v?uv?
定理3（商的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，且v(x)≠0，则
??u?u?v?uv? ???v2?v?
定理4 若函数u?g(x)在点x处可导，且y?f(u)在其相应点u处可导，则复合函数y?f[g(x)]在x处可导，且
dydydu???? 或 y??y?uxuxdxdudx5．基本初等函数求导公式
本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下：
(C)??0 (x)???x???1
(ax)??axlna
(ex)??ex
(logax)??11
(lnx)??
xxlna(sinx)??cosx (cosx)???sinx
(tanx)??sec2x (cotx)???csc2x
(secx)??secxtanx (cscx)??cscxcotx (arcsinx)??11?x2 (arccosx)???11?x2
(arctanx)??11?x2 (arccot)???11?x2
这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。
6．微分的概念
设函数y?f(x)在点x处可导，则称函数f(x)在x点的导数f?(x)与自变量增量Δx的乘积为函数y?f(x)在x处的微分，记为
dy?f?(x)?x
若y?x，则Δx＝dx，即自变量的微分等于自变量的改变量，因此函数的微分可记为
dy?f?(x)dx
由dy?f?(x)dx可知，先计算函数的导数，再乘以dx或Δx，就得到函数的微分dy。
7．微分的计算
由dy?f?(x)dx可知，微分的计算归结为导数的计算。由初等函数导数的计算公式、
法则和方法，可以直接得到微分基本公式和运算法则： d(C)?0 d(x?)??x??1dx d(ax)?axlnadx d(ex)?exdx d(logax)?1xlna
dx d(lnx)?1dx x d(sinx)?cosxdx d(cosx)??sinxdx d(tanx)?sec2xdx d(cotx)??csc2xdx d(secx)?secx?tanxdx d(cscx)??cscx?cotxdx
d(arccosx)??1dx d(arcxs?in)x d 221?x1?x1 d(arctanx)?11dxd(arccotx)??dx 221?x1?x微分的运算法则如下：
四则运算法则：当u、v可微时，
d(u±v)＝du±dv d(uv)＝vdu＋udv d(Cu)＝Cdu
?u?vdu?udvd???，(v≠0)
v2?v?复合函数的微分法则：
设函数y＝f(x)可微，当x是自变量时，dy?f?(x)dx；当x是中间变量x＝g(t)时，复合函数y＝f[g(t)]的微分为dy?yt?dt?f?(x)g?(t)dt?f?(x)dg(t)?f?(x)dx。
就是说，不论x是中间变量还是自变量，函数y＝f(x)的微分都可以表示为dy?f?(x)dx。由于表达形式一致，称之为一阶微分的形式不变性。
8．微分的简单应用
由微分的定义可知，当?x很小时，可以用函数y?f(x)的微分dy代替函数改变量
?y，误差仅为?x的高阶无穷小，即
?y?dy?f?(x0)dx
由?y?f(x0??x)?f(x0)，得到近似公式
f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x
记x＝x0＋Δx，近似公式可以写为
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)
若取x0＝0，则得到当| x |很小时，f?x?的近似公式
f(x)?f(0)?f?(0)x
微分还可以用来估计误差。若y?f(x)，测量x时产生的绝对误差为?x，当?x很小时，函数y?f(x)的绝对误差、相对误差分别计算为
|?y|?|dy|，
|?y||dy| ?|y||y| 【习题解答】
2-1 求下列函数的导数。
（1） y?4x?2x?1；
31x2（2） y??；
x2（3） y?2x?4； x4 （4） y＝(x2＋3)tanx；
?1??1?（5） y?xlnx； （6） y?(1?x)???； x??（7） y?xsinx； （8） y＝secxtanx＋cscxcotx；
1?cosx（9） y?xlog2x?lg2； （10） y?11?t?11?t。
解 （1） y??12x?2
2（2） y???1?x x22x4?8x4?16x36x?16'22
（3） y?? （4） y＝2xtanx + (x＋3)secx ??85xx（5） y??lnx?21?1?111 （6） y?? 1??(1?x)????2x2x?x?2xx2x2xx（7）y??(sinx?xcosx)(1?cosx)?xsinx(?sinx)x?sinx ?(1?cosx)21?cosx
（8） y' = secxtan2x + sec3x - cscxcot2x - csc3x
（9） y??log2x?1
ln2?π?2-2 设f(x)＝cosxsinx，求f?(0)、f???。
?2?（10） y??2t?2t (1?t)2(1?t)2?11解 f ' (x) = - sinxsinx + cosxcosx = cos2x ?π? f?(0)= 1 f???= -1
?2?2-3 设f(x)?x，求f?(0)、f?(2)。 1?x21?x2?x(?2x)1?x2解 f?(x)? ?2222(1?x)(1?x) f?(0) = 1 f?(2) = 5 /9
2-4 求曲线y＝4x2＋4x－3在点(1，5)处的切线和法线方程。 解 y' = 8x + 4 k = 12
切线方程 12x - y -7 = 0 法线方程 x + 12y - 61 = 0
2-5 物体运动方程为s＝t＋sint，求物体运动的速度和加速度。 解 v?s??cost a?s????sint 2-6 求下列各函数的导数。
（1） y?1?x2； （2） y＝cosaxsinbx； （3） y＝ln2x； （4） y＝lncosx；
2xx2（5） y?sin； （6） y?arctan；
21?x22（7） y?cos2x； 2 （8）y?arctanxa?x22；
（9） y?ln21?sinx； （10）y?e?kx。
1?sinx解 （1） 解 y??x1?x2
（2） y???asinaxsinbx?bcosaxcosbx
第二章 导数与微分习题汇总
