考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长． 解答： （1）证明：连接DE， ∵AE是直径， ∴∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠ABC， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
=
，
∴AC?AD=AB?AE； （2）解：连接OD， ∵BD是⊙O的切线， ∴OD⊥BD，
在RT△OBD中，OE=BE=OD， ∴OB=2OD， ∴∠OBD=30°， 同理∠BAC=30°，
在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．
点评： 本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
22．（8分）（2015?东营）如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D． （1）求证：D是BP的中点； （2）求四边形ODPC的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；
（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案． 解答： （1）证明：∵点P在函数y=上， ∴设P点坐标为（，m）． ∵点D在函数y=上，BP∥x轴， ∴设点D坐标为（，m）， 由题意，得
BD=，BP==2BD， ∴D是BP的中点．
（2）解：S四边形OAPB=?m=6，
设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y）， S△OBD=?y?=， S△OAC=?x?=，
S四边形OCPD=S四边形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC=6﹣﹣=3．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．
23．（8分）（2015?东营）2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题．
分析： （1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．
解答： 解：（1）设平均每年下调的百分率为x， 根据题意得：6500（1﹣x）2=5265， 解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）， 则平均每年下调的百分率为10%；
（2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为5265×（1﹣10%）=4738.5（元/米2）， 则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385（万元）， ∵20+30＞47.385， ∴张强的愿望可以实现．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
24．（10分）（2015?东营）如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）利用平行线的性质以及三角形面积关系得出答案；
（2）利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形，进而得出AF=BC=BF，求出答案； （3）根据题意画出图形，利用sin∠CGF=解答： 解：（1）S△ABC=S四边形AFBD， 理由：由题意可得：AD∥EC， 则S△ADF=S△ABD， 故S△ACF=S△ADF=S△ABD， 则S△ABC=S四边形AFBD；
（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°， 理由如下：∵F为BC的中点， ∴CF=BF， ∵CF=AD， ∴AD=BF， 又∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形， ∵AB=AC，F为BC的中点， ∴AF⊥BC，
求出即可．
∴平行四边形AFBD为矩形， ∵∠BAC=90°，F为BC的中点， ∴AF=BC=BF，
∴四边形AFBD为正方形；
（3）如图3所示：
由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC， 设CF=k，则GF=EF=CB=2k， 由勾股定理得：CG=sin∠CGF=
=
=
k， ．
点评： 此题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．
25．（13分）（2015?东营）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2015年山东省东营市中考数学试卷解析
