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牛吃草问题
历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。 主要类型： 1、求时间 2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。 基本思路：
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 ③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。 基本公式：
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶
(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)；
(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` (3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)； (4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21
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头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。” 一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)
(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)
(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15 (4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。 第二种：公式解法
有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？ 解答：
1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份) 原有草量：21×8-12×8=72(份) 16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)
2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数 所以最多只能放12头牛。
例题一 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9
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周，那么这片草地可供21头牛吃几周？ 解：把每天每头牛吃的草量看成“1。” 第6周时总草量为：6×27＝162 第9周时总草量为：9×23＝207 3周共增加草量：207－162＝45
每周新生长草：45÷（9－6）＝15 即每周生长出的草可以供15头牛吃。 原有草量为：162－6×15＝72
所以可供21头牛吃：72÷（21－15）＝12（周）
随堂练习：
1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？ 解：20天时草地上共有草：10×20＝200 10天时草地上共有草：15×10＝150
草生长的速度为：（200－150）÷（20－10）＝5 即每天生长的草可供5头牛吃。 原草量为：200－20×5＝100
可供25头牛吃：100÷（25－5）＝5（天）
2、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？ 解：6天时共有草：24×6＝144 10天时共有草：20×10＝200
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草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14 原有草量：144－6×14＝60
可供19头牛： 60÷（19－14）＝12（天）
3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？
解：8天时草的总量为：5×8＝40 2天时草的总量为：14×2＝28
草每天生长的速度为：（40－28）÷（8－2）＝2 即每天生长的草可供2头牛吃。 草地上原有的草为：28－2×2＝24 可供10头牛吃：24÷（10－2）＝3（天）
4、某牧场上的草，若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，问用多少人割，6天可以割尽？（草匀速生长，每人每天割草量相同） 解：（17×30－19×24）÷（30－24）＝9 17×30－9×30＝240 240÷6＋9＝49（人）
5、武钢的煤场，可储存全厂45天的用煤量。当煤场无煤时，如果用2辆卡车去运，则除了供应全厂用煤外，5天可将煤场储满；如果用4辆小卡车去运，那么9天可将煤场储满。如果用2辆大卡车和4辆小卡车同时去运，只需几天就能将煤厂储满？（假设全厂每天用煤量相等。）
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解：（45＋5）÷5＝10 （45＋9）÷9＝6 45÷（10＋6－1）＝3（天）
6、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】4
解：（21×12－23×9）÷（12－9）＝15 23×9－15×9＝72 72÷（33－15）＝4（周）
7、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解：（10×20－15×10）÷（20－10）＝5 10×20－20×5＝100 100÷5＋5＝25（头）
例题二 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，照这样计算，某牧场草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么，可供多少头牛吃10天？
解：5天时草地上共有草：5×20＝100 6天时草地上共有草：6×15＝90
每天草地上的草减少：（100－90）÷（6－5）＝10 原草量为：100＋5×10＝150
10天后还剩下的草量： 150－10×10＝50
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50÷10＝5（头）
随堂练习：
1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？ 解：5天时草地上共有草：33×5＝165 6天时草地上共有草：24×6＝144 每天减少：（165－144）÷（6－5）＝21 原有的草量为：165＋5×21＝270 10共减少了：21×10＝210 10天后剩草量为：270－210＝60 60÷10＝6（头）
2、天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？ 解：5天时共有草：20×5＝100 6天时共有草：16×6＝96
草减少的速度为：（100－96）÷（6－5）＝4 原有的草量为：100＋4×5＝120
可供11头牛吃：120÷（11＋4）＝8（天）
3、因为天气日渐寒冷，牧场上的草不但不生长，反而以固定的速度每天在减少。如果20头牛去吃20天可以吃完；如果30头牛去吃15天可以吃完。那么，如果10头牛去吃____
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天可以吃完。
解：（ 30×15－20×20）÷（20－15）＝10 20×20＋10×20＝600 600÷（10＋10）＝30（天） 答：10头牛去吃30天可吃完。
4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供12头牛吃7天。照此计算，可供6头牛吃几天？ 解：
假设1头牛1天吃1份的草
20头牛5天一共吃了：20×5=100 份的草 12头牛7天一共吃了：12×7=84 份的草 时间相差：7-5=2 （天） 草量减少：100-84=16 份的草 说明，一天减少：16÷2=8 份的草 5天减少了：8×5=40 份的草 原来牧场上有：100+40=140 份的草
这140份的草，可供6头牛吃：140÷(6+8)=10(天)
例题三 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？
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解：5分钟时男孩共走了：20×5＝100（台阶） 6分钟时女孩共走了：15×6＝90（台阶）
自动扶梯的速度为：（100－90）÷（6－5）＝10（台阶） 自动扶梯共有：100＋5×10＝150（台阶） 随堂练习：
1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在20秒里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？
解：男孩共走了：2×60÷20×27＝162 女孩共走了：3×60÷20×24＝216
自动扶梯的速度：（216－162）÷（3－2）＝54（台阶）
162－54×2＝54
2、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
解：5分钟小明共走了：25×5＝125 6分钟小红共走了：20×6＝120
自动扶梯的速度为：（125－120）÷（6－5）＝5 该扶梯的台阶：125＋5×5＝150（台阶）
3、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走20级台
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阶，小红每分钟走14级台阶，结果小明用4分钟，小红用了5分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
解：5分钟小明共走了：20×4＝80 6分钟小红共走了：14×5＝70
自动扶梯的速度为：（80－70）÷（6－5）＝10 该扶梯的台阶：80＋10×4＝120（台阶）
4、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？ 解：（50×1－60÷3×2）÷（60－50）＝1
50×1＋50×1＝100（级）
例题四 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入舱内，发现漏洞时已经进了一些水，如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完水，需要多少人？
解：把每个人每小时的舀水量看成单位‘1’ 3个小时后共有水：12×3＝36 10个小时后共用水：5×10＝50
每小时的进水量：（50－36）÷（10－3）＝2 发现时船舱内有水：36－3×2＝30 原水量舀完共需：30÷2＝15（人） 共需：15＋2＝17（人）
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随堂练习：
1、一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 解：3小时后共有水：3×10＝30 8小时后共有水：8×5＝40
进水速度为：（40－30）÷（8－3）＝2 原有水量为：30－3×2＝24
24÷2＝12（人） 12＋2＝14（人）
2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水30立方米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方米，注满水箱可少用2.5小时。那么每小时由底面小孔排水多少立方米？（每小时排水量相同） 解：7小时共注水：7×30＝210（立方米）
4.5小时共注水：（7－2.5）×45＝202.5（立方米） 排水速度为：（210－202.5）÷（7－4.5）＝3（立方米）
3、一水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么有25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 解：20小时共抽水：10×20＝200 10小时共抽水：15×10＝150
泉水涌出的速度为：（200－150）÷（20－10）＝5 原有水量为：200－20×5＝100
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25部可以在：100÷（25－5）＝5（小时）
4、有一眼泉井，用功率一样的3台抽水机去抽井水，同时开机，40分钟可以抽干；用同样的6台抽水机去抽，则只需要16分钟就可以抽干，那么用同样的抽水机9台，几分钟可以抽干？
解：（3×40－6×16）÷（40－16）＝1 16×6－16×1＝80
80÷（9－1）＝10（分钟）
例题4 有一口水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？ 解：36分钟时的总水量为：3×36＝108 20分钟时的总水量为：5×20＝100
涌水的速度为：（108－100）÷（36－20）＝0.5 原水量为：100－20×0.5＝90
90÷12＝7.5 （台） 7.5＋0.5＝8（台）
随堂练习：
1、一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排两部抽水机同时向外抽水，当时已经漏了500桶水，一部抽水机每分钟抽水18桶，另一部每分钟抽水12桶，经过25分钟把水抽完，问每分钟漏进水多少桶？
解：25分钟共抽水：（18＋12）×25＝750（桶）
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25分钟共漏水：750－500＝250（桶）
每分钟漏水：250÷25＝10（桶）
2、有一口井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的泉水量相等。如果用4台抽水机来抽水，40分钟可以抽完；如果用5台抽水机来抽水，30分钟可以抽完。现在要求24分钟内抽完井水，需要抽水机多少台？ 解：40分钟抽水量为：40×4＝160 30分钟抽水量为：30×5＝150
泉水的速度为：（160－150）÷（40－30）＝1 原有的水量为：160－40×1＝120 24分钟抽完原水量需： 120÷24＝5（台） 共需：5＋1＝6（台）
3、有一口井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，若用4台抽水机15分钟可抽完。若用8台抽水机7分钟可抽完，现用11台抽水机多少分钟可抽完？ 解：15分钟时抽出的水为：4×15＝60 7分钟时抽出的水位：7×8＝56
泉水的速度为：（60－56）÷（15－7）＝0.5 原有的水为：60－15×0.5＝52.5 52.5÷（11－0.5）＝5（分钟）
4、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断地往池里放水，平均每分钟入水量相等。现在如果开放3根排水管45分钟可把池中水排完，如果开放5根排水管
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25分钟可把池中水排完。如果开放8根排水管，几分钟排完池中的水？ 解：45分钟时共排水：45×3＝135 25分钟时共排水：5×25＝125
每分钟进水速度为：（135－125）÷（45－25）＝0.5 原有水为：125－25×0.5＝112.5 112.5÷（8－0.5）＝15（分钟）
5、一个水库水量一定，河水匀速流入水库。5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 解：20天共抽水：20×5＝100 15天共抽水：15×6＝90
进水的速度为：（100－90）÷（20－15）＝2 原有水为：100－2×20＝60
60÷6＝10（台） 10＋2＝12（台）
6、一个水池，池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？ 解：设每台水泵每小时抽水量为一份． （1）水流每小时的流入量： （5×7-10×2）÷（7-2）=3（份） （2）水池原有水量： 5×7-3×7=14（份） 或 10×2-3×2=14（份）
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（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵： （14+3×0.5）÷0.5=31（台）
例题五 有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
解：每公顷在第10天时共有草：11×10÷5＝22 每公顷在第14天时共有草：12×14÷6＝28
每公顷草每天生长的速度为：（28－22）÷（14－10）＝1.5 8公顷每天生长的草为：1.5×8＝12 每公顷的原草量为：22－10×1.5＝7 8公顷原草量为：8×7＝56
原草量可供吃：56÷（19－12）＝8（天）
1、有3个长满草的牧场，每块地每公亩草量相同而且都是匀速生长。第一牧场33公亩，可供22头牛吃54天；第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天；第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？
解：54天时每亩有草量为：22×54÷33＝36 84天时每亩有草量为：17×84÷28＝51
每亩地草生长的速度为：（51－36）÷（84－54）＝0.5 40亩地每天生长的草为：40×0.5＝20 每亩地的原草量为：36－54×0.5＝9
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40亩地的原草量为：40×9＝360 360÷24＝15（头） 15＋20＝35（头）
2、一个农夫有2公顷、4公顷和6公顷三块牧场，三场牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，5天吃完了，农夫又将这8头牛赶到4公顷的牧场，15天又吃完了；最后，这8头牛又被赶到6公顷的牧场，这块牧场够吃多少天？ 解：5×8÷2＝20 15×8÷4＝30
（30－20）÷（15－5）＝1 1×6＝6 20－5×1＝15 15×6＝90
90÷（8－6）＝45（天）
13、有3片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它的面积为3公亩、10公亩和
324公亩。12头牛4星期吃完第一片牧场原有的和4星期内新长出来的草；21头牛9星期吃完第二片牧场原有的和9星期内新长出来的草。多少头牛18星期才能吃完第三片牧场原有的和新长出来的草？
1解：4星期时每公亩共有草：12×4÷3＝14.4
3 9星期时每公亩共有草：21×9÷10＝18.9
每星期新长出的草为：（18.9－14.4）÷（9－4）＝0.9 每公亩原有的草量为：14.4－4×0.9＝10.8 24公亩每星期长出的草为：24×0.9＝21.6
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24公亩原有的草量为：24×10.8＝259.2
259.2÷18＝14.4（头） 14.4＋21.6＝36（头）
4、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草？（每公亩牧场上原有草量相等，且生长量也相等）
解：28天时每公亩草地上有草：28×12÷10＝33.6 63天时每公亩草地上有草：63×21÷30＝44.1
每天每公亩草生长的速度为：（44.1－33.6）÷（63－28）＝0.3 72公亩草地每天生长的草为：72×0.3＝21.6 每公亩原有草为：33.6－28×0.3＝25.2 72公亩原有草为：72×25.2＝1814.4
1814.4÷126＝14.4（头） 14.4＋21.6＝36（头）
5、有三块草地，面积分别是5、15、25亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，则第三块草地可供多少头牛吃60天？ 解：30×10÷5＝60 28×45÷15＝84
（84－60）÷（45－30）＝1.6 1.6×25＝40 60－1.6×30＝12 12×25＝300 300÷60＝5（头）
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40＋5＝45（头）
6、12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变．问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？ 解：设1头牛吃一周的草量为一份． （1）每公顷每周新长的草量：
（20×6÷12-12×4÷6）÷（6-4）=1（份） （2）每公顷原有草量： 12×4÷6-1×4=4（份） （3）16公顷原有草量： 4×16=64（份）
（4）16公顷8周新长的草量： 1×16×8=128（份）
（5）8周吃完16公顷的牧草需要牛数： （128+64）÷8=24（只）
1、在一片牧场里，放养4头牛，吃6亩草，18天可以吃完：放养6头牛，吃10亩草，30天可以吃完，请问放入多少头牛，吃8亩草，24天可以吃完？（假定这片牧场每亩中的原草量相同，且每天草的生长两相等） 解：4×18÷6＝12 6×30÷10＝18
（18－12）÷（30－18）＝0.5 8×0.5＝4 12－18×0.5＝3 3×8＝24 24÷24＋4＝5（头）
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例题六 某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，，一个检票口每分钟能让25人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票后多少分钟就没有人排队？ 解：8分钟共检票：25×8＝200（人） 原有人数位：200－8×10＝120（人）
开两个窗口需时：120÷（25×2－10）＝3（分钟）
随堂练习：
1、车站开始检票时，有a名旅客排队等候进站，检票开始后，仍有旅客陆续前来，设旅客按固定的速度增加，检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可以将排队的旅客全部检票完毕，若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队的旅客全部检票完毕，如果要在5分钟内将排队的旅客全部检票完毕，使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
解：（1×30－2×10）÷（30－10）＝0.5 1×30－0.5×30＝15 15÷5＋0.5＝3.5（个） 要开4个检票口。
2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？ 解：30分钟共检票：30×4＝120
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20分钟共检票：20×5＝100
人来的速度为：（120－100）÷（30－20）＝2 原有人数：120－30×2＝60 60÷（7－2）＝12（分钟）
3、某火车站检票前开始排队，假若前来排队检票的人数均匀增加，若开一个检票口，需要20分钟可以检完；若开两个检票口，需要8分钟可以检完；若开三个检票口，需要多少多少分钟可以检完？
1解：（1×20－2×8）÷（20－8）＝
3140
1×20－20× ＝
33
401
÷（3－ ）＝5（分钟） 33
4、某天上海世博会中国馆的入口处已有945名游客开始等候检票进馆。此时每分钟还有若干人前来入口处准备进馆。如果打开4个检票口，15分钟游客可以全部进馆；如果打开8个检票口，7分钟游客可以全部进馆。现在要求在5分钟内所有游客全部进馆，需要打开几个检票口？（第九届希望杯培训题） 解：（4×15－8×7）÷（15－7）＝0.5 8×7－7×0.5＝52.5
52.5÷5＋0.5＝11（个）
5、某个游乐场在开门前400人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入10个游客，如果开放4个入口，20分钟就没有人来排队。现在开放6个入口，
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那么开门后多少分钟就没有人排队？ 解：（10×4×20－400）÷20＝20
400÷（6×10－20）＝10（分）
6、物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】d A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时
解：（80－60）×4＝80（人） 80÷（80×2－60）＝0.8（小时）
7、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需要30分钟，若同时开6个检票口则需要20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需要同时开几个检票口 解：（5×30－6×20）÷（30－20）＝3 5×30－3×30＝60 60÷10＋3＝9（个）
8、禁毒图片展8点开门，但很早便有人排队等候入场。从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8点5分就没有人排队。第一个观众到达时距离8点还有多少分钟？ 解：（3×9－5×5）÷（9－5）＝0.5 3×9－0.5×9＝22.5 22.5÷0.5＝45（分）
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9点－45分＝8点15分
例题7、有一个牧场长满牧草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。现有牛若干头在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完。原来有牛多少头？
解：30天时牧场上共有草：30×17＝510 24天时牧场上共有草：19×24＝456
草生长的速度为：（510－456）÷（30－24）＝9 原有草量为：510－30×9＝240 （240＋4×2）÷（6＋2）＝31 31＋9＝40（头）
1、有一片草地，草每天草生长的速度相同，这片草地可供5头牛吃40天；或者供6头牛吃30天，如果4头牛吃了30天以后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？ 解：（5×40－6×30）÷（40－30）＝2 5×40－40×2＝120 120－30×（4－2）＝60 60÷（4＋2－2）＝15（天）
2、一片牧草，可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天，现在开始只有4头牛吃，从第7天起又增加了若干头牛吃草，再吃6天吃完了所有的草，问从第7天起增加了多少头牛？
解：（8×16－9×12）÷（16－12）＝5
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9×12－12×5＝48 48＋（5－1）×6＝54 54÷6＝9（头） 9＋5－4＝10（头）
3．有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天．假设草的每天生长速度不变．现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，问有羊多少只？ 解：设一只羊吃一天的草量为一份． （1）每天新长的草量：
（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份） （2）原有的草量： 8×20-2×20=120（份）
（3）若不增加6只羊，这若干只羊吃6天的草量，等于原有草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量： 120＋2×（4＋2）-1×2×6=120（份） （4）羊的只数： 120÷6=20（只）
例题8、有一片牧草，每天生长的速度相同，现有这片牧草可供16头大牛吃20天，或者供80头小牛吃10天。如果1头大牛的吃草量等于3头小牛的吃草量，那么12头大牛与60头小牛一起吃草可以吃多少天？ 解：（16×3×20－80）÷（20－10）＝16 80×10－16×10＝640
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640÷（12×3＋60－16）＝8（天）
1、 一块牧草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
解：80只羊吃的草相当于：80÷4＝20（头牛）吃的草 20天时草的总量为：16×20＝320 12天时草的总量为：12×20＝240
草生长的速度为：（320－240）÷（20－12）＝10 原有草量为：240－10×12＝120
60只羊所吃的草量相当于60÷4＝15头牛所吃的草 120÷（10＋15－10）＝8（天）
2、有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片青草可供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃，可以吃多少天？
解：76÷4＝19（牛）
（15×20－19×12）÷（20－12）＝9 15×20－20×9＝120 64÷4＝16（牛）
120÷（8＋16－9）＝8（天）
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3、一片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天．如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃多少天？
解：设1头牛吃一天的草量为一份． 60只羊相当于60÷4=15头牛 （1）每天新长的草量：
（15×24-20×12）÷（24-12）=10（份） （2）原有草量： 20×12-10×12=120（份） 或 15×24-10×24=120（份） （3）12头牛与88只羊吃的天数： 120÷（12＋88÷4-10）=5（天）
例题9、快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？
解：6小时时自行车共走了：6×24＝144（千米） 10小时时自行车共走了：20×10＝200（千米） 自行车的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14（千米） 三车出发时自行车已经走了：144－14÷6＝60（千米） 慢车追上的时间为：60÷（19－14）＝12（小时）
1、有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人，这三
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辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，那么慢车每小时行多少千米？ 解：24×6＝144（千米） 10×20＝200（千米）
（200－144）÷（10－6）＝14（千米） 200－10×14＝60（千米）
60÷12＋14＝19（千米）
2、甲、乙、丙三人同时从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的小明，他们三人分别用9分钟、15分钟、20分钟追上小明，已知甲每小时行24千米，乙每小时行20千米，求丙每小时行多少千米？
解：（15×20－24×9）÷（15－9）＝14（千米） 15×20－14×15＝90（千米）
90÷20＋14＝18.5（千米）
3、甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去．已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度. 解：（1）长跑运动员的速度：
[800×（6+2）-1000×6]÷2=200（米/分） （2）三车出发时，长跑运动员与A地的距离： 1000×6-200×6=4800（米） （3）丙车行的路程：
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4800+200×（6+2+2）=6800（米） （4）丙车的速度： 6800÷10=680（米/分）
例题10、有一个水池，池内已存有一定的水，这个水池上装有一根进水管和若干根相同的排水管。进水管和其中的5根排水管同时开放8分钟，能将池内的水全部排完。若进水管和其中的8根排水管同时开放4分钟，也能将池内的水全部排完。现在进水管和全部排水管同时开放，2分钟后，关掉其中的6根排水管再过1分钟，池内也空了，求这个水池上装有几根排水管。
解：8分钟时共排水：5×8＝40 4分钟时共排水：4×8＝32
进水速度为：（40－32）÷（8－4）＝2 原水量为：32－4×2＝24
（24＋6×1）÷（2＋1）＝10（根） 10＋2＝12（根）
1、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根进水管不断地往水池里放水，平均每分钟进水量是相等的。如果开放三根排水管的话，45分钟就可把池中的水放完；如果开放5根排水管，25分钟就可以把池水排完。如果开放八根排水管的话，那么几分钟排完池中的水？
解：（3×45－5×25）÷（45－25）＝0.5 3×45－0.5×45＝112.5 112.5÷（8－0.5）＝15（根）
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例题11、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年或者是可供80亿人生活300年，假设地球每年新生长的资源是一定的，为了使资源不致减少，地球上最多生活多少人？ 解：（300×80－100×100）÷（300－100）＝70（亿）
1、有一草场，假设每天草都均匀生长，这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天；问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？ 解：200天时共有草：100×200＝20000 100天时共有草：100×150＝15000
草生长的速度为：（20000－15000）÷（200－100）＝50 原有的草量为：15000－100×50＝10000 可供250只吃：10000÷（250－50）＝50（天） 为了不让草场沙化，最多可以放50只羊。
2、假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？
解：110×90＝9900 90×210＝18900
（18900－9900）÷（210－90）＝75（亿）
3、有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不
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完，至多可以放牧几头牛？ 解：（21×8－24×6）÷（8－6）＝12
\姐弟两人打印一批稿件，姐姐单独打印需要的时间是弟弟所需时间的3/8，姐姐先打印了这批稿件的2/5后，接着由弟弟单独打印，共用24小时打印完，问姐姐打印了多少小时？
时间比为：姐姐∶弟弟＝3∶8 效率比为：姐姐∶弟弟＝8∶3
5－22姐姐的时间为：24÷（ ＋ ）× ＝4.8（时）
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六年级上学期有学生750人,本学期男生增加6分之一,女生减少5分之一,共有710人,本学期男女生共有多少人?
（750－5×40）÷（6＋5）＝50 6×50＝300（人）……男 750－300＝350（人）……女
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牛吃草问题练习及答案解析
