连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（ ）
A．10
B．8
C．4
D．2
【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；
【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝， 设CD＝5x，BD＝7x， ∴BC＝2
x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D， ∴AD＝BD＝7x， ∴AC＝12x， ∵AC＝12， ∴x＝1， ∴BC＝2故选：D．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（ ）
；
A．
B．
＝
C．
D．
【分析】证明△ABC∽△DAB，得出BC×2BC＝2BC2，因此AB＝
，证出AD＝2BC，得出AB2＝BC×AD＝
BC，在Rt△ABC中，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°，
∴∠ADB+∠EAD＝90°， ∴∠BAC＝∠ADB， ∴△ABC∽△DAB， ∴
＝
，
∵BC＝AD， ∴AD＝2BC，
∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2， ∴AB＝
BC，
＝
＝
；
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝故选：C．
8．（3分）如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标为5，CD＝3AC，cos∠BED＝，则k的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．
【分析】由cos∠BED＝＝，设DE＝3a，BE＝5a，根据勾股定理求得BD＝4a＝5，
，设AC＝b，则CD＝3b，根据题意得出EC＝b，ED
即可求得a＝，得出DE＝＝3b+b＝
，从而求得b＝1，则AC＝1，CD＝3，设B点的纵坐标为n，则A（1，
3+n），B（5，n），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k＝1×（3+n）＝5n，求得k＝
．
【解答】解：∵BD∥x轴， ∴∠EDB＝90°，
∵cos∠BED＝＝，
∴设DE＝3a，BE＝5a， ∴BD＝
＝
＝4a，
∵点B的横坐标为5， ∴4a＝5，则a＝， ∴DE＝
，
设AC＝b，则CD＝3b， ∵AC∥BD， ∴
＝
＝
＝，
∴EC＝b， ∴ED＝3b+b＝∴
＝
，
，则b＝1，
∴AC＝1，CD＝3， 设B点的纵坐标为n， ∴OD＝n，则OC＝3+n， ∵A（1，3+n），B（5，n），
∴A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点， ∴k＝1×（3+n）＝5n， 解得k＝故选：D．
9．（3分）在矩形ABCD中，点M是对角线BD上一点，ME⊥BC于点E，AB＝3，BC＝4，当△AMD为等腰三角形时，ME的长为（ ） A．
B．
C．或
D．或
，
【分析】分两种情形讨论：①DA＝DM，②M′A＝M′D，分别求解即可． 【解答】解：①当AD＝DM时， ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4， ∴BD＝
＝5，
∴BM＝BD＝DM＝5﹣4＝1， ∵ME⊥BC，DC⊥BC， ∴ME∥CD， ∴
＝
，
∴＝
∴ME＝．
②当M′A＝M′D时，M′E′是△BDC的中位线， ∴M′E′＝CD＝， 综上所述，ME的长为或， 故选：C．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴负半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①错误；
②把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③由x＝1时对应的函数值y＜0，可得出a+b+c＜0，得到a+c＜﹣b，x＝﹣1时，y＞0，可得出a﹣b+c＞0，得到|a+c|＜|b|
，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，选项③正确；
④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0 ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0， ∵
，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确； ③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0， ∴a+c＜﹣b，
当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0， ∴a+c＞b， ∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c， ∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确． 故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 100 ．
2【分析】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）+100，
当x＝10时，S最大值为100．
【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），
辽宁省实验学校2020年中考数学模拟试卷(有答案)
