【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、
解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 文
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R 振幅 周期 2π频率 1ωf== T2π相位 初相 A T=ω ωx+φ φ 2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示:
x 0-φω0 π-φ2π-φωπ 2 ωπ 3π-φ2ω3π 2-A 2π-φ ωωx+φ y=Asin(ωx+φ) 2π 0 A 0 0 3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤如下:
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( × )
π?π??π?(2)y=sin?x-?的图象是由y=sin?x+?的图象向右平移个单位得到的.( √ )
4?4?2??
(3)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的.( √ )
(4)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.( × ) (5)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ ) 2
T
π??1.y=2sin?2x-?的振幅、频率和初相分别为 . 4??1π
答案 2,,-
π4
π??2.(2015·山东改编)要得到函数y=sin?4x-?的图象,需将函数y=sin 4x的图象进行
3??的变换为 . π
①向左平移个单位;
12π
③向左平移个单位;
3答案 ②
π????π??解析 ∵y=sin?4x-?=sin?4?x-??, 3????12??
π?π?∴要得到函数y=sin?4x-?的图象,只需将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位.
3?12?π??3.(2015·湖南改编)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ?0<φ<?个单位后得到函
2??π
数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ= .
3答案
π 6
π
②向右平移个单位;
12π
④向右平移个单位.
3
解析 因为g(x)=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ), 所以|f(x1)-g(x2)|=|sin 2x1-sin(2x2-2φ)|=2. 因为-1≤sin 2x1≤1,-1≤sin(2x2-2φ)≤1,
所以sin 2x1和sin(2x2-2φ)的值中,一个为1,另一个为-1,不妨取sin 2x1=1,sin(2x2ππ
-2φ)=-1,则2x1=2k1π+,k1∈Z,2x2-2φ=2k2π-,k2∈Z,2x1-2x2+2φ=2(k1
22-k2)π+π,(k1-k2)∈Z,
得|x1-x2|=?
?k1-k2π+π-φ?.
?2??
πππ
因为0<φ<,所以0<-φ<,
222
ππ
故当k1-k2=0时,|x1-x2|min=-φ=,
23π
则φ=.
6
4.(教材改编)如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,则这段曲线的函数解析式为 .
答案 y=10sin?
?πx+3π?+20,x∈[6,14]
4??8?
解析 从图中可以看出,从6~14时的是函数
y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期,
1
所以A=×(30-10)=10,
2
b=×(30+10)=20,
12π
又×=14-6, 2ωπ
所以ω=.
8π
又×10+φ=2π, 83π
解得φ=,
4
12
?π3π?所以y=10sin?x+?+20,x∈[6,14].
4??8
π
5.(2014·安徽)若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y4轴对称,则φ的最小正值是 . 答案
3π 8
ππ
解析 ∵函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得到g(x)=sin[2(x-φ)+]44
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函
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