一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难） 1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值． 【答案】(1)1；(2)3． 【解析】 【分析】
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值． 【详解】
解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0， ∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0， ∴(x+y)2+(y+1)2=0， ∴x+y=0，y+1=0， 解得，x=1，y=?1， ∴2x+y=2×1+(?1)=1； (2)∵a?b=4， ∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c2?6c+13=0，得 b2+4b+c2?6c+13=0， ∴(b2+4b+4)+(c2?6c+9)=0， ∴(b+2)2+(c?3)2=0， ∴b+2=0，c?3=0， 解得，b=?2，c=3， ∴a=b+4=?2+4=2， ∴a+b+c=2?2+3=3． 【点睛】
此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.
2．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a?3ab?2b??a?2b??a?b?．请回答下列问题：
22
（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；
（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的
y的式子表示) ； 面积，你能发现什么?(用含有x， （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．
2222【答案】（1）(2a?b)(a?2b)?2a?2b?5ab；（2）(x?y)?(x?y)?4xy；
（3）大 小 【解析】 【分析】
（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
22（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式4xy?(x?y)?(x?y)，得到被减数
一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小； 【详解】
22（1）看图可知，(2a?b)(a?2b)?2a?2b?5ab 22（2）(x?y)?(x?y)?4xy
（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小. 【点睛】
本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
3．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax?bx?c(a?0)变形为
2a(x?m)2?n的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对
一些多项式进行因式分解．例如：
11?25?115??115??11??11??x?11x?24?x?11x???????24??x?????x????x???2?4?22??22??2??2??根据以上材料，解答下列问题：
22222（1）用配方法将x2?8x?1化成(x?m)2?n的形式，则x2?8x?1= ________； （2）用配方法和平方差公式把多项式x2?2x?8进行因式分解；
22（3）对于任意实数x，y，多项式x?y?2x?4y?16的值总为______（填序号）．
①正数②非负数 ③ 0
2【答案】（1）(x?4)?17；（2）(x?2)(x?4)；（3）①
【解析】 【分析】
（1）根据材料所给方法解答即可； （2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答. 【详解】
解：（1）x2?8x?1 =x2?8x?16?1?16
(x?4)2?17.
（2）原式=x2?2x?1?1?8 =(x?1)2?9 =(x?1?3)(x?1?3) =(x?2)(x?4)．
22（3）x?y?2x?4y?16
=x?2x?1?y?4y?4?11 =?x?1???y?2??11 ＞11 故答案为①. 【点睛】
本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
22?2??2?
4．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： 方法2：
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；
【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1. 【解析】 【分析】
（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式； 方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解． 【详解】
解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形， ∴阴影部分的面积=（m-n）2
方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积 ∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；
（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn； （3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab， ∵a-b=5，ab=-6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1. 【点睛】
本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
5．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3. (1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数). 【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n＋1. 【解析】 【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可； （2）根据已知分解因式的方法可以得出答案； （3）由（1）中计算发现规律进而得出答案． 【详解】
(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）
(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）
(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1] ＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2] ＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3] ＝(1＋x)n(1＋x) ＝(1＋x)n＋1. 【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
6．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10． （1）最大的四位“半期数”为 ；“半期数”3247的“伴随数”是 ．
（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．
【答案】（1）4192，7324；（2）42. 【解析】 【分析】
（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．
（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值． 【详解】
解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192． ∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．
∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．
故答案为4192；7324． （2）∵P为“半期数”
∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣
张家口数学整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)
