2015年线性代数 一、 ?证明?A??A可逆的充要条件是AB可逆 ??C?BC?A?A??A?A?若??可逆，求出?C?BC?的逆。
C?BC????
二、b?0,r(A)?r(A,b)?r，Ax?b的所有解集合为S,证明： ?S中包含n?r?1个线性无关的向量?1,?2,...?n?r?1。 ??是S中元素充要条件是存在ki,(i?1,2...,n?r?1)，
n?r?1i?1n?r?1i?1?ki?1，使得
???k?ii
三、已知A为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P，使得
0?1P'AP???0cos???0sin??a11?a22?a33?1?sin??,其中cos??。
?2cos???0
四、以下有关矩阵秩的命题在数域F上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。
（1）、若r(A)?r(B)，则rA?rB （2）、若r?AB??r(B)，则r(ABC)?r(BC) （3）、r(A)?r(AA)
（4）、若一个对称矩阵的秩为r，则有一个非0 的r阶主子式。
五、A是n阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是p,q，
'????**f(x)?X'AX，记Nf?x|f(x)?0,x?Rn，证明：
（1）、包含于Nf的线性空间维数至多是n?max(p,q)
（2）、若w是R的一个线性子空间，将二次型限定w在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有p1?p,q1?q。
n??六、
（1）、已知A,B都是实正定矩阵，则存在可逆矩阵P，使得 P'AP,P'BP同时为对角型
（2）、当A,B是半正定矩阵时，（1）问中的结论是否成立，若成立给出证明，若不成立请说明理由。
七、已知?1,?2,?3,?4,?5,?6是线性空间V的一组基，?是线性空间V上的线性变换，且
???1???1,???2???1??2,???3???2??3，……………（记不清了）
（1）、求出所有2维的?的不变子空间，并说明理由
（2）、证明?不是循环变换，即?,?(?),?2(?),...?5(?)不构成一组基
by晴天 2014.12.30
2015年武汉大学线性代数考研真题
