第二学期高等数学期中考试试卷答案
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．
，?3?，则该球面的方程为 1．已知球面的一直径的两个端点为?2，?3，5?和?4，1______________________________． 2．设f?x，y??y?2xy?f1，，则??? ______________________．
xx2?y2??23?2z?_______________． 3．设二元函数z?xy?xy，则
?x?y 4．若函数f?x，y?在矩形区域D：0?x?1，0?y?1上连续，且
????f?x，y??1 ， ??xy?fx，ydxdy?????D?则f?x，y??________________． 5．设u?ln 答案：
⒈ ?x?3???y?1???z?1??21；
2222x2?y2?z2，则div?gradu??___________________．
2xy； 22x?y2 ⒊ 2y?3x； ⒋ 4xy?1；
1 ⒌ 2．
x?y2?z2 ⒉
二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．
1．下列直线中平行xOy坐标面的是________ ．
?4x?y?4?0x?1y?2z?3?? （A）． ； （B）．?； 132x?z?4?0?x?1y?1z??； （D） （C）．．x?1?2t，y?2?t，z?3． 001222 2．旋转曲面x?y?z?1是______________ ． （A）．xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成； （B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成； （C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成； （D）．xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成．
???x，y?与fyx???x，y?在点?x0，y0?处连续是fxy???x0，y0??fyx???x0，y0?的 3．fxy______________ ．
（A）．必要条件 ； （B）．充分条件 ；
（C）．充分必要条件 ； （D）．既非充分条件，又非必要条件．
1，x?y?1围成，若 2777 I1????ln?x?y??dxdy，I2????x?y?dxdy，I3????sin?x?y??dxdy
4．设平面区域D由直线x?0，y?0，x?y?DDD则I1，I2，I3之间的关系是___________ ．
（A）．I1?I2?I3； （B）．I3?I2?I1； （C）．I1?I3?I2； （D）．I3?I1?I2．
5．设曲线L是任意不经过y?0的区域D内的曲线，为使曲线积分
??Lax2x222ax?ydx?2x?y2dy yy???与路径无关，则a? ___________ ． （A）．? 答案：
1531； （B）．?； （C）．； （D）．．
3222 ⒈ （D）； ⒉ （A）； ⒊ （B）； ⒋ （C）； ⒌ （A）．
三．（本题满分6分）
yzxz?????1???1 已知直线l1：?bc，l2：?ac，求过l1且平行于l2的平面方程．
???x?0?y?0 解：
直线l1与l2的方向向量分别为
11?11???，???1，0，0???0，，??， bc?cb?????11?1??1 s2??，0，????0，1，0???，0，?，
c?a??a?c????111?作 n?s1?s2??，?，?2?，
bcc??ca??111?n?，?，???0，0，cP取直线l1上的一点P，则过点且以为法向量的平面 ?112?cabcc??xyz???1?0 ， abc就是过l1且平行于l2的平面方程．
s1??0，?四．（本题满分6分）
，1，2?处的切线方程． 求球面x?y?z?6与抛物面z?x?y的交线在点?1 解：
22222?x2?y2?z2?6 由方程组?两端对x求导，得 22?z?x?ydydz?2x?2y?2z?0?dxdx ?
dydz?2x?2y??0dxdx?dz?dy2y?2z??2x?dxdx即 ?， dydz?2y???2x?dxdxdyx?2xzdz?解得，，?0 dx?y?2yzdxdydz所以，??1，?0
dx?1，1，2?dx?1，1，2?，1，2?处的切线方程为 因此，曲线在点?1x?1y?1z?2 ． ??1?10五．（本题满分6分）
计算二重积分
22x?y?2x． ，其中为??x?ydxdyD??D 解：
作极坐标变换 x?rcos?，y?rsin? 则有
?
???x?y?dxdy????cos??sin??d??rdr
2D?0222cos??8cos3? ???cos??sin??d?
3?2?2?2?88243 ??cos?d???sin?cos?d?
3?3?? ??
2?2六．（本题满分7分）
证明：曲面z?a??x??b??y?222，x?y?c，z?0所围立体的体积等于
??x????y?12?c?a?b?，其中??u?是连续的正值函数，且a?0，b?0，c?0． 2 解：
所求立体在xOy面上的投影区域为D：x?y?c，因此有 V? ?
222a??x??b??y?dxdy ???????x??yD1?a??x??b??y?a??y??b??x?????x????y????y????x??dxdy 2???D?1a??x??b??y??a??y??b??x????dxdy 2D??x????y?1?a?b???x???a?b???y????dxdy 2D??x????y?1??x????y???a?b???dxdy
????2?x??yD1??a?b???dxdy 2D1??a?b???c2 21??c2?a?b? 2七．（本题满分7分）
求曲面积分
I???xz2dzdy ，
?其中?是曲面z? 解：
R2?x2?y2 ?0?z?R?的上侧．
添加曲面?1：z?0 x?y?R为?，由Gauss公式，得 I? ? ????122xzdzdy?xz????dzdy
?1?222?，取下侧，设闭曲面???（取外侧）所围区域
1???zdV?0
?212zdV （对称性） ???2x2?y2?z2?R2
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