第一部分 专题三 第一讲 三角函数的图象与性质
A组
3π
1．已知sinφ＝，且φ∈(，π)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻
52两条对称轴之间的距离等于
3
A．－
53
C． 5
ππ
，则f()的值为( B ) 24
4
B．－
54D． 5
π
，得2
[解析] 由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
ππ4
到其最小正周期为π，所以ω＝2，f()＝sin(2×＋φ)＝cosφ＝－1－sin2φ＝－.
445
2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( D )
13??A．?kπ－，kπ＋?，k∈Z
44??13??B．?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z 44??3??1
C．?k－，k＋?，k∈Z
4??413??D．?2k－，2k＋?，k∈Z 44??
1π
ω＋φ＝2kπ＋，??42
[解析] 由五点作图知，?53π
ω＋φ＝2kπ＋，??42
k∈Z，可得ω＝π，φ＝，
π
4
π?π13?所以f(x)＝cos?πx＋?.令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k＋，k4?444?13??∈Z，故单调减区间为?2k－，2k＋?，k∈Z.故选D .
44??
3．(2017·天津卷，7)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若
f(
5π11π)＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( A ) 882πA．ω＝，φ＝ 312111π
C．ω＝，φ＝－
324
211π
B．ω＝，φ＝－
31217π
D．ω＝，φ＝ 324
5π11π
[解析] ∵f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
8811π5π
∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π，
882π22
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．
3π3325π
∴2sin(×＋φ)＝2，
38π
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
12
π
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝. 12故选A．
ππ
4．(2024·济南期末)已知函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω>0)，f()＋f()＝0，
62ππ
且f(x)在区间(，)上递减，则ω＝( B )
62
A．3 C．6
B．2 D．5
πππ
[解析] ∵f(x)＝2sin(ωx＋)，f()＋f()＝0.
362ππ
＋62π
∴当x＝＝时，f(x)＝0.
23ππ
∴ω＋＝kπ，k∈Z， 33∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A，C； ππ
又f(x)在(，)上递减，
62
把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.
π?ππ?5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|≤?，x＝－为f(x)的零点，x＝为2?44?
?y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在?，
A．11 C．7
[解析] 由题意知： π
－ω＋φ＝kπ，??4?π
π
ω＋φ＝kπ＋，??42
12
π5π??上单调，则ω的最大值为( B )
?1836?
B．9 D．5
则ω＝2k＋1，其中k∈Z.
?π5π?∵f(x)在?，?上单调， ?1836?
∴
5πππ12π
－＝≤×，ω≤12. 3618122ω接下来用排除法．
π?π?若ω＝11，φ＝－，此时f(x)＝sin?11x－?， 4?4?
?f(x)在?，调，
π3π??3π5π??π5π?上单调递增，在?，?上单调递减，不满足f(x)在?，?上单??1844??4436??1836?
π?π??π5π?若ω＝9，φ＝，此时f(x)＝sin?9x＋?，满足f(x)在?，?上单调递减．
4?4??1836?π
6．(2017·开封市高三一模)已知函数f(x)＝2sin(π＋x)·sin(x＋＋φ)的图象关
3π于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝. 6[解析] 本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式． 因为f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋
π
＋φ)的图象关于原点对称，所以函数f(x)＝3
ππ
2sin(π＋x)sin(x＋＋φ)为奇函数，则y＝sin(x＋＋φ)为偶函数，又φ∈(0，π)，
33π
所以φ＝. 6
7．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：
①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝2(sinx＋cosx)； ③f(x)＝sinx; ④f(x)＝2sinx＋2.
其中为“互为生成”函数的是①④(填序号)．
[解析] 首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝2sin(x＋
π
)，②f(x)＝2sin(x4
π
＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝2sinx＋2，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数4图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f(x)＝2sin(x＋＋
π
)的图象与②f(x)＝2sin(x4
ππ)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝2sinx＋2的图象向左平移个44
π
单位，再向下平移2个单位即可得到①f(x)＝2sin(x＋)的图象，所以①④为“互为生
4成”函数．
12
8．已知函数f(x)＝(2cos x－1)sin2x＋cos4x.
2(1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈?
?π，π?，且f(α)＝2，求a的值．
?2?2?
12
[解析] (1)因为f(x)＝(2cosx－1)sin2x＋cos4x
21
＝cos2xsin2x＋cos4x
21
＝(sin4x＋cos4x) 2＝
2πsin(4x＋) 24
π2所以f(x)的最小正周期为，最大值为. 22(2)因为f(α)＝
2π
，所以sin(4α＋)＝1. 24
π
因为α∈(，π)，
2π9π17π
所以4α＋∈(，)，
444π5π9π
所以4α＋＝，故α＝.
4216
π
9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内
2
的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ x Asin(ωx＋φ) 0 π 2π 35 π 3π 25π 6－5 2π 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图5π
象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(，0)，求θ的最小值．
12
π
[解析] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
6
ωx＋φ x Asin(ωx＋φ) 0 π 120 π 2π 35 π 7π 120 3π 25π 6－5 2π 13π 120 π且函数解析式为f(x)＝5sin(2x－)．
6π
(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，
6π
则g(x)＝5sin(2x＋2θ－)．
6
因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. π
令2x＋2θ－＝kπ，
6解得x＝
kππ
2＋
－θ，k∈Z. 12
5π
由于函数y＝g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，
12所以令
kππ
5π
＋－θ＝， 21212
解得θ＝
kππ
2
－，k∈Z.
3
π
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值. 6
B组
（文理通用）2024届高考数学大二轮复习第1部分专题3三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质练习
