精品
3极限和导数
相关知识
1.导数的有关概念。 (1)定义：
函数y=f(x)的导数f(x)，就是当?x?0时，函数的增量?y与自变量的增量?x的比极限，即f(x)?lim//
?y的?x?yf(x??x)?f(x)。 ?lim?x?0?x?x?0?x(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。 (3)几何意义：
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。 2． 求导的方法： (1)常用的导数公式：
C=0（C为常数）； (x)=mx(m∈Q); (sinx)=cosx; (cosx)= -sinx ; (e)=e; (a)=alna
x/
x
x/
x//
m/
m-1
/
1; x1(logax)/?logae.
x(lnx)/?(2)两个函数的四则运算的导数：
(u?v)/?u/?v/;(uv)/?u/v?uv/;u/v?uv/?u?(v?0).???2v?v?(3)复合函数的导数：y3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。
/x
/?y/u?u/x
可编辑
精品
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f(x)>0，则f(x)为增函数；如果f(x)<0，则f(x)为减函数。 (2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)
//
A类例题 例1求函数的导数
(1)y?
1?x232 (2)y?(ax?bsin?x) (3)y?f(x?1) 2(1?x)cosx(1?x)?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)cosx]?(1)解:y?? 222(1?x)?cosx?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)?cosx?(1?x2)(cosx)?]?(1?x2)2cos2x?(1?x2)cosx?(1?x)[2xcosx?(1?x2)sinx]?(1?x2)2cos2x(x2?2x?1)cosx?(1?x)(1?x2)sinx?(1?x2)2cos2x(2)解 y=μ,μ=ax－bsinωx,μ=av－by v=x,y=sinγ γ=ωx
y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′
22
=3μ(av′－by′)=3μ(av′－by′γ′)
22
=3(ax－bsinωx)(a－bωsin2ωx)
32
(3)解法一 设y=f(μ),μ=v,v=x+1,则
2
1－1y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v2·2x
2=f′(x2?1)·
121x?12·2x
=
xx2?1f?(x2?1),
解法二 y′=［f(x2?1)］′=f′(x2?1)·(x2?1)′
可编辑
精品
?122
=f′(x?1)·(x+1)2·(x+1)′
221?12
=f′(x?1)·(x+1) 2·2x
221=
xx2?1f′(x2?1)
说明 本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型
解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数
本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错
例2．观察(x)??nxnn?1，(sinx)??cosx，(cosx)???sinx，是否可判断，可导的奇函数
的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
f(x??x)?f(x)?f?(x)
?x?0?xf(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x) f?(?x)?lim ?lim?x?0?x?0??x??xf(x??x)?f(x) ?lim???f?(x)
?x?0??解：若f(x)为偶函数 f(?x)?f(x) 令lim∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：f??[f(?x)]??f?(?x)?(?x)???f?(x)
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
32
例3已知曲线C y=x－3x+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标
解 由l过原点，知k=
y032
(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x0－3x0+2x0, x0∴
y02
=x0－3x0+2 x0y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2
又k=
y022
,∴3x0－6x0+2=x0－3x0+2 x02x0－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=
2
3 23 2可编辑
精品
∴y0=(
333233)－3()+2·=－2228可编辑
精品
∴k=
y01=－ x04∴l方程y=－
133x 切点(，－) 428情景再现 ?x21．y?f(x)???ax?bx?1 在x?1处可导，则a? b? x?1
2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
f(a?h2)?f(a)f(a?3h)?f(a?h) （1）lim； （2）lim
?h?0?h?0h2h
3．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。
B类例题 例4 (1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；
(2)若f(x)在R上可导，且f(x)= -f(x)，求f(0)。
(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比
/
?yf(0??x)?f(0)?，当?x?0时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。?x?x记作f(0)?/lim?x?0f(0??x)?f(0)。
?x(2)解法一：∵f(x)= f(-x)，则f(△x)= f(-△x) ∴f(0)?/lim?x?0f(?x)?f(0)f(??x)?f(0)??lim
?x??x?x?0 当?x?0时，有??x?0 ∴f(0)??//lim??x?0f(??x)?f(0)??f/(0)
??x ∴f(0)?0。
解法二：∵f(x)= f(-x)，两边对x求导，得f(x)?f(x)?(?x)??f(x)////可编辑
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第3讲极限和导数
