§3．1．3 导数的几何意义
【学情分析】：
上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。
【教学目标】：
1.了解曲线的切线的概念 2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法． 3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 【教学重点】：
理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.
【教学难点】：
发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.
【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 圆与圆锥曲线的切线定义：与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线。 曲线的切线 如图3.1-2，当Pn(xn,f(xn))(n?1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？ 一、 曲线 的切 线及 切线 的斜 率： 设计意图 为课题引入作铺垫. 图3.1-2 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ ⑵切线PT的斜率k为多少？
容易知道，割线PPn的斜率是kn?f(xn)?f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，xn?x0?x?0kn无限趋近于切线PT的斜率k，即k?limf(x0??x)?f(x0)?f?(x0) ?x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在x?x0处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率， 即 f?(x0)?lim指导学生理解导数的几何意义，可以讨论 ?x?0二、导数说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 的几①求出P点的坐标; f(x0??x)?f(x0)何意②求出函数在点x0处的变化率f?(x0)?lim?k ，得到曲线在点?x?0义： ?xf(x0??x)?f(x0)?k ?x(x0,f(x0))的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f?(x0) 是一个确定的数，那三、导函数 么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f?(x)或y?， 即: f?(x)?y??lim ?x?0f(x??x)?f(x) ?x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)、导函数f?(x)、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数f?(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的 极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 '3）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f?(x)在x?x0处的函数值，这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 四、例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 典例2分析 （2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数. 通过例子，更深
[(1??x)2?1]?(12?1)2?x??x2?lim?2, 解：（1）y?|x?1?lim?x?0?x?0?x?x所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y?2?2(x?1)即2x?y?0 入理解导数的概念 3x2?3?123(x2?12)?lim?lim3(x?1)?6 （2）因为y?|x?1?limx?1x?1x?1x?1x?1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y?3?6(x?1)即6x?y?3?0 例2、求曲线f(x)=132x－x+5在x=1处的切线的倾斜角. 3分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角a. 解：∵tana=lim?x?0f(x0??x)?f(x0)f(1??x)?f(1)?lim ?x?0?x?x11(1??x)3?(1??x)2?5?(?1?5)3 ?lim3?x?0?x1(?x)3??x1?lim[(?x)2?1]??1 ?lim3?x?03?x?0?x∵a∈［0，π)，∴a=3π. 4∴切线的倾斜角为3π. 4例3．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(x)??4.9x2?6.5x?10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况． 解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况． （1）当t?t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t?t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． （2）当t?t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h?(t1)?0，所以，在t?t1附近曲线
下降，即函数h(x)??4.9x?6.5x?10在t?t1附近单调递减． （3）当t?t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h?(t2)?0，所以，在t?t2附近曲2线下降，即函数h(x)??4.9x?6.5x?10在t?t2附近单调递减． 从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢． 例4．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c?f(t)(单位：mg/mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t?0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）． 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率． 如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作t?0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：2k?0.48?0.91??1.4 1.0?0.7所以 f?(0.8)??1.4 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t 0.2 药物浓度瞬时变化率f(t) 0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 '0.4
五、课堂 导数的几何意义，怎么求曲线的切线。 小结 补充题目: /1．导数f(x0)的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数f(x)在 处的 即： ２．函数f(x)平均变化率f(x0??x)?f(x0)的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。 ?x f(x) f(x0??x)?f(x0) y 1）平均变化率的几何意义： ?x 2）当?x?0时，观察图形变化。 f(x0) O x0 x //3．导数f(x0)的几何意义是什么？导数f(x0)的几何意义是 /4．在函数h(t)??4.9t?6.5t?10的图像上，（1）用图形来体现导数h(1)??3.3， 2h/(0.5)?1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2. 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？
高中数学教案 1.3 导数的几何意义
