天幕数学
∴AD∥BC，
∴∠FCG=∠EDG，∠CFG=∠DEG，又CG=DG． ∴△FCG≌△EDG， ∴FG=EG．
∴四边形CEDF是平行四边形．
（2）①如图四边形CEDF是矩形时，在Rt△CDF中，CD=AB=3，∠DCF=60°，∠CFD=90°， ∴CF=CD=． ∵ED=CF=， ∴AE=AD﹣DE=
②如图四边形CEDF是菱形时，易知△CDF，△CDE都是等边三角形， ∴DE=CD=AB=3， ∴AE=AD﹣ED=5﹣3=2．
故答案为，2．
【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形、菱形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（9分）（2017春?确山县期末）为了全面开展“阳光体育工程”，某中学准备从体育用品店一次性购买若干个篮球和足球．已知购买4个足球和3个篮球共需360元，购买2个足球和5个篮球共需390元．
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（1）购买一个足球和一个篮球分别需 45 元和 60 元；
（2）根据该中学的实际情况，需购买足球和篮球共80个，并且篮球个数不少于足球个数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设一个足球、一个篮球分别为x、y元，就有4x+3y=360和2x+5y=390，由这两个方程构成方程组求出其解即可；
（2）设购买篮球x个，购买篮球和足球的总费用为y元，根据篮球个数不少于足球个数的3倍，建立不等式求出x的取值范围，再根据一次函数y=60x+45（80﹣x）=15x+3600，即可得到最省钱的购买方案．
【解答】解：（1）设一个足球x元、一个篮球为y元，根据题意得：
，
解得：
．
∴一个足球45元、一个篮球60元； 故答案为：45，60；
（2）设购买篮球x个，购买篮球和足球的总费用为y元． 则x≥3（80﹣x）， 解得x≥60
由题意知，x＜80， ∴60≤x＜80，
购买篮球和足球的总费用y=60x+45（80﹣x）=15x+3600， ∵15＞0，
∴y随x的减小而减小．
∴当x=60时，y最小=15×60+3600=4500， 此时，80﹣x=20．
∴最省钱的购买方案是购进篮球60个，足球20个．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用以及一次函数的性质的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
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20．（9分）（2017春?确山县期末）画出函数y=|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题：
（1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值； （2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集；
（3）若直线y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y=|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（，﹣），直接写出关于x的方程|x|﹣2=kx+b的解．
【分析】当x＞0，画出函数y=x﹣2的图象；当x＜0，画出函数y=﹣x﹣2的图象，从而得到函数y=|x|﹣2的图象；
（1）根据所画图象易得最低点的坐标和函数y的最小值；
（2）利用函数图象，写出图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可； （3）先利用y=|x|﹣2确定A点坐标，然后根据两直线的交点问题可确定关于x的方程|x|﹣2=kx+b的解．
【解答】解：函数y=|x|﹣2的图象如图，
（1）最低点坐标是（0，﹣2），函数y的最小值是﹣2； （2）x＞2或x＜﹣2；
（3）当y=1时，|x|﹣2=1，解得x=3或x=﹣3（舍去）， 所以交点A的坐标为（3，1）， 而交点B的坐标为（，﹣），
所以关于x的方程|x|﹣2=kx+b的解为x=﹣3或x=．
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【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
21．（10分）（2016?德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠
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ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明． 【解答】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD， ∴AC=BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°，
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2016-2017学年河南省驻马店市确山县八年级（下）期末数学试卷含答案
