§10.2 排列、组合
1.排列、组合的定义
排列的定义组合的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
合成一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
从n个不同元素中取出
定义
m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
n=n(n-1)(n-2)·…·(n-mAm
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
n
Am
n=Cm
n!
+1)=
公式
?n-m?!
A
m
=n?n-1??n-2?·…·?n-m+1?
m!n!
=
m!?n-m?!
An=n!,0!=1
性质
nn=Cn-nm,Cmn+Cm-n1=CmnCm
+1,
n=1Cn=1,C0
概念方法微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么?
提示 元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.
2.排列数与组合数公式之间有何关系?它们的公式都有两种形式,如何选择使用?
nAm=Amn.提示 (1)排列数与组合数之间的联系为Cm
(2)两种形式分别为:①连乘积形式;②阶乘形式.
前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
n,则x=m成立.( × )x=Cm(3)若组合式Cn
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说,如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.( √ )题组二 教材改编
2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144 B.120 C.72 D.24答案 D
解析 “插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐
4=4×3×2=24.法种数为A3
3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( )A.8 B.24 C.48 D.120答案 C
2种,其他位置排法有A34种,解析 末位数字排法有A1
2A34=48(种)排法,所以偶数的个数为48.共有A1
4.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是________.答案 24
4=4(种)选法,解析 从4本书中选3本有C3把选出的3本送给3名同学,有A3=6(种)送法,4A3=4×6=24(种).所以不同的送法有C3
题组三 易错自纠
5.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种 B.216种 C.240种 D.288种答案 B
解析 第一类:甲在最左端,有A5=5×4×3×2×1=120(种)排法;第二类:乙在最左端,甲不在最右端,
有4A4=4×4×3×2×1=96(种)排法.
所以共有120+96=216(种)排法.
6.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法种数为________.答案 30
3C24种不同的选法;(2)A解析 分两种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C13C14种不同的选法.类选修课选2门,B类选修课选1门,有C2
3C24+C23C14=18+12=30(种).所以不同的选法共有C1
排列问题
1.用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20 000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有( )
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个答案 B
解析 根据题意知,要求这个五位数比20 000大,则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,当万位数是3时,百位数不是数字3,符合要求的五位数有A4=24(个);当万位数是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3×(A4-A3)=54(个),因此共有54+24=78(个)这样的五位数符合要求.故选B.
2.(2020·惠州调研)七人并排站成一行,如果甲乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数是( )
A.3 600 B.1 440 C.4 820 D.4 800答案 A
6种,不同的排法解析 除甲乙外,其余5个人排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A26=3 600(种).种数是A5A2
3.3名女生和5名男生站成一排,其中女生排在一起的排法种数有________.答案 4 320
解析 3名女生排在一起,有A3种排法,把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有A
6种排法,故共有
A3A6=4 320(种)不同排法.
思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)常见排列数的求法为:①相邻问题采用“捆绑法”.②不相邻问题采用“插空法”.③有限制元素采用“优先法”.④特殊顺序问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数.
组合问题
1.(2018·全国Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有______种.(用数字填写答案)答案 16
22解析 方法一 按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有C1C4种,有2位女生参4种.故所求选法共有C12C24+C2C14=2×6+4=16(种).加有C2C1
6种情况,没有女生参加的情况有方法二 间接法:从2位女生,4位男生中选3人,共有C34种,故所求选法共有C36-C34=20-4=16(种).C3
2.(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁,俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为________.答案 182
2C38种,甲、乙都不裁的方案有C48种,故不同的裁员方案解析 甲、乙中裁一人的方案有C12C38+C48=182(种).共有C1
3.从7名男生,5名女生中选取5人,至少有2名女生入选的种数为________.答案 596
解析 “至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”,故可用间接法,所以有C
12515C47-C57=596(种).5-C1
思维升华 组合问题常有以下两类题型变化:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
排列与组合的综合问题
命题点1 相邻问题
例1 (2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间,有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在两端,3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种答案 C
3A2=6(种)不同排法,剩解析 从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A,A共有C2
下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙;则女领导人甲必须在A,B之间,此时共有6×2=12(种)排法(A左B右和A右B左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,
∴共有12×4=48(种)不同排法.命题点2 相间问题
例2 某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72 B.120 C.144 D.168答案 B
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相
3A23=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情声□”,有A2C14=48(种)安排方况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品1□相声□小品2□”,有A2A3
法,故共有36+36+48=120(种)安排方法.命题点3 特殊元素(位置)问题
例3 大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置),其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种答案 B
解析 根据题意,分两种情况讨论:
①A家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,
3×C12×C12=12(种)乘坐方式;有C2
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个孩子都在甲
3×C12×C12车上,对于剩余的两个家庭,从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有C1
=12(种)乘坐方式,
故共有12+12=24(种)乘坐方式,故选B.
2021新高考版大一轮复习用书数学第十章 10.2
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