§10.2 排列、组合
1．排列、组合的定义
排列的定义组合的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
合成一组
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
从n个不同元素中取出
定义
m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
n＝n(n－1)(n－2)·…·(n－mAm
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
n
Am
n＝Cm
n！
＋1)＝
公式
?n－m?！
A
m
＝n?n－1??n－2?·…·?n－m＋1?
m！n！
＝
m！?n－m?！
An＝n！，0！＝1
性质
nn＝Cn－nm，Cmn＋Cm－n1＝CmnCm
＋1，
n＝1Cn＝1，C0
概念方法微思考
1．排列问题和组合问题的区别是什么？
提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．
2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？
nAm＝Amn.提示 (1)排列数与组合数之间的联系为Cm
(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ )
n，则x＝m成立．( × )x＝Cm(3)若组合式Cn
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( √ )题组二 教材改编
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120 C．72 D．24答案 D
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐
4＝4×3×2＝24.法种数为A3
3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A．8 B．24 C．48 D．120答案 C
2种，其他位置排法有A34种，解析 末位数字排法有A1
2A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.共有A1
4．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．答案 24
4＝4(种)选法，解析 从4本书中选3本有C3把选出的3本送给3名同学，有A3＝6(种)送法，4A3＝4×6＝24(种)．所以不同的送法有C3
题组三 易错自纠
5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种 B．216种 C．240种 D．288种答案 B
解析 第一类：甲在最左端，有A5＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，
有4A4＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．
所以共有120＋96＝216(种)排法．
6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．答案 30
3C24种不同的选法；(2)A解析 分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C13C14种不同的选法．类选修课选2门，B类选修课选1门，有C2
3C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)．所以不同的选法共有C1
排列问题
1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )
A．96个 B．78个 C．72个 D．64个答案 B
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A4＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A4－A3)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B.
2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是( )
A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800答案 A
6种，不同的排法解析 除甲乙外，其余5个人排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A26＝3 600(种)．种数是A5A2
3．3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数有________．答案 4 320
解析 3名女生排在一起，有A3种排法，把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有A
6种排法，故共有
A3A6＝4 320(种)不同排法．
思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③有限制元素采用“优先法”．④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．
组合问题
1．(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)答案 16
22解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C1C4种，有2位女生参4种．故所求选法共有C12C24＋C2C14＝2×6＋4＝16(种)．加有C2C1
6种情况，没有女生参加的情况有方法二 间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C34种，故所求选法共有C36－C34＝20－4＝16(种)．C3
2．(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．答案 182
2C38种，甲、乙都不裁的方案有C48种，故不同的裁员方案解析 甲、乙中裁一人的方案有C12C38＋C48＝182(种)．共有C1
3．从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________．答案 596
解析 “至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，所以有C
12515C47－C57＝596(种)．5－C1
思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
排列与组合的综合问题
命题点1 相邻问题
例1 (2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种答案 C
3A2＝6(种)不同排法，剩解析 从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有C2
下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，
∴共有12×4＝48(种)不同排法．命题点2 相间问题
例2 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120 C．144 D．168答案 B
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相
3A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情声□”，有A2C14＝48(种)安排方况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A2A3
法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．命题点3 特殊元素(位置)问题
例3 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种答案 B
解析 根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，
3×C12×C12＝12(种)乘坐方式；有C2
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲
3×C12×C12车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C1
＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.
2021新高考版大一轮复习用书数学第十章 10.2
