全国初中数学竞赛辅导（初2）第19讲特殊化与一般化-初中二年级数学试题练习、期中期
末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载
第十九讲 特殊化与一般化
特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．
另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地．
1．特殊化、一般化和类比推广
命题1 在△ABC中，△C=90°，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD2=AD·BD．
这是大家所熟知的直角三角形射影定理．
类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2．
命题2 在△ABC中，△C=90°， CD是斜边上的中线(图2-103)，则有CD=AD=BD．
这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=AD·BD)．
再类比，如果CD是△C的平分线，将怎样？于是得到命题3．
命题3 在△ABC中，△C=90°，CD是△C的平分线(图2-104)，则有
这是一个新命题，证明如下.
引DE△BC于E，DF△AC于F． 因为
所以
我们把命题1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题．
命题4 在△ABC中，△C=90°，D是斜边AB上的任一内分点(图2-105)，则有
证 引DF△AC于F，DE△BC于E．因为
CD2-BD2＝CE2-BE2=(CE-BE)BC， 而 所以 所以 即
命题5 在△ABC中，△C=90°，D是斜边AB上的任一外分点(图2—106)，则有
证 只要令命题4之结论中AD为-AD，则有
我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即│AD│=0)，那么无论是①式或②式都有
AB2=BC2+AC2.
这就是我们熟知的勾股定理．
命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．
定理 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，
时，取“-”号，△B为钝角时，取“＋”号)．
证 我们仅利用命题4证图2-107中的情况(△B＜90°)．
为此，我们作图2-109，其中△DBA=90°，CD=x，CE△DB于E，并设CE=n．由命题4，立得 得 所以
b2=a2+c2-2cn．
全国初中数学竞赛辅导(初2)第19讲特殊化与一般化-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
